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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 27

Determine o diferencial da função.

27-

w = l n x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nessa questão a gente tem a função w = f x , y , z e a questão quer que a gente obtenha o seu diferencial.

Vamos precisar lembrar como obtemos o diferencial de uma função, beleza?

O diferencial de w se dará pela seguinte equação:

d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

Vemos que basta derivar parcialmente com relação a cada uma das variáveis da função e multiplicar por um incremento infinitesimal nessa variável.

Agora vamos às contas...

Passo 2

Queremos calcular as derivadas da função

w = l n x 2 + y 2 + z 2

Sabendo que a derivada de l n u e de   u são:

d d u ( ln ⁡ u ) = 1 u

d d u = u = 1 2 u

Presta atenção aqui porque vamos precisar da regra da cadeia duas vezes!

Primeiro, dentro do logaritmo nós temos uma raiz quadrada. Aí dentro dessa raiz quadrada nós temos um polinômio.

Portanto, para calcular as derivadas nós vamos precisar fazer o seguinte:

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2  

∂ w ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

Agora, para derivar essa raiz nós usamos a regra da cadeia novamente:

∂ w ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ ∂ ∂ x ( x 2 + y 2 + z 2 )

∂ w ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 2 x

Podemos simplificar essa expressão, visto que temos duas raízes iguais se multiplicando. Obteremos:

∂ w ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Para calcular as outras derivadas, nós temos que seguir o mesmo procedimento.

O resultado que vamos obter para cada uma delas é:

∂ w ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

∂ w ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Dessa forma se juntarmos tudo teremos:

d w = x x 2 + y 2 + z 2   d x + y x 2 + y 2 + z 2   d y + z x 2 + y 2 + z 2   d z

Resposta

d w = x x 2 + y 2 + z 2 d x + y x 2 + y 2 + z 2 d y + z x 2 + y 2 + z 2 d z

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