Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 31
Seja e suponha que para todo . Prove que é constante.
Passo 1
Devemos fazer uso das informações que nós temos ()! Perceba: a derivada é nula, ou seja, NÃO VARIA.
Realmente, parece que tá certo, mas, como demonstrar?
Passo 2
Bem, vamos por um momento considerar a igualdade
Qual a função que sempre satisfaz a equação acima? Olha, se tomarmos , onde é qualquer função só de , a equação resolve. Ou seja: se não varia com , então nem é função de na real!
Ok, suponhamos então que . Vamo substituir isto em :
Ué? Deu zero? Hmm... Note que até trocamos para derivada total já. Agora realmente não tem jeito, a solução só pode ser , onde é constante! Ou seja, as duas equações só fecham se tivermos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)