Seja e suponha que para todo . Prove que é constante.

Bem, vamos por um momento considerar a igualdade

Qual a função que sempre satisfaz a equação acima? Olha, se tomarmos , onde é qualquer função só de , a equação resolve. Ou seja: se não varia com , então nem é função de na real!

Ok, suponhamos então que . Vamo substituir isto em :

Ué? Deu zero? Hmm... Note que até trocamos para derivada total já. Agora realmente não tem jeito, a solução só pode ser , onde é constante! Ou seja, as duas equações só fecham se tivermos