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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 28

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

w = r 2 + s 2 + t 2  

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos pede para encontrar as derivadas de primeira ordem da função (nesse caso w r , w s e w t , uma para cada variável) mas como fazemos isso?

É de boa: Para encontrar a derivada w r , por exemplo, nós tratamos s e t como constantes e derivamos a função w em r normalmente!

Passo 2

Para encontrar w r tratamos s e t como constantes e derivamos a função w em r !

De forma que temos

w ( r ) = r 2 + s 2 + t 2

∂ w ∂ r = d   r 2 + s 2 + t 2 d r

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

De forma que temos

∂ w ∂ r = d   u d u ⋅ d r 2 + s 2 + t 2 d r

∂ w ∂ r = 1 2 u ⋅ 2 r

Ou ainda

w r = r r 2 + s 2 + t 2

De forma beeeem similar, para encontrar w s tratamos r e t como constantes e derivamos a função w em s !

∂ w ∂ s = d   r 2 + s 2 + t 2 d s

Onde acabamos chegando na mesma regra da cadeia!

∂ w ∂ s = d   u d u ⋅ d r 2 + s 2 + t 2 d s

∂ w ∂ s = 1 2 u ⋅ 2 s

w s = s r 2 + s 2 + t 2

E, exatamente da mesma forma, chegamos num resultado parecido em w t !

∂ w ∂ t = d   r 2 + s 2 + t 2 d t

∂ w ∂ t = d   u d u ⋅ d r 2 + s 2 + t 2 d t

∂ w ∂ t = 1 2 u ⋅ 2 t

w t = t r 2 + s 2 + t 2

Resposta

w r = r r 2 + s 2 + t 2

w s = s r 2 + s 2 + t 2

w t = t r 2 + s 2 + t 2

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