Dê um exemplo de uma função f : R 2 → R tal que ∂ f ∂ y seja contínua em R 2 mas que f não seja contínua em nenhum ponto de R 2 .

f x , y = f 1 x + y onde f 1 x = 1 s exér a c i o n a l - 1 s exéi r r a c i o n a l é é

Enunciado

Neste exercício, devemos imaginar qualquer função de duas variáveis que seja descontínua em qualquer ponto, mas cuja derivada seja sempre contínua.

Esta questão parece uma loucura, mas podemos resolvê-la facilmente como o pulo do gato: vamos dividir em uma some de duas funções e .

A nossa estratégia do malandro será tomar:

Agora, o truque está em definirmos e de forma conveniente. Assim, vamos tomar:

-qualquer função sempre descontínua em

-qualquer função sempre contínua em

Apenas como exemplo, podemos tomar

E também

Logo, teremos: . Note que é contínua toda vida. Por outro lado, a presença de torna a própria sempre descontínua!

onde