Dê um exemplo de uma função tal que seja contínua em mas que não seja contínua em nenhum ponto de .
Passo 1
Neste exercício, devemos imaginar qualquer função de duas variáveis que seja descontínua em qualquer ponto, mas cuja derivada seja sempre contínua.
Esta questão parece uma loucura, mas podemos resolvê-la facilmente como o pulo do gato: vamos dividir em uma some de duas funções e .
Passo 2
A nossa estratégia do malandro será tomar:
Agora, o truque está em definirmos e de forma conveniente. Assim, vamos tomar:
-qualquer função sempre descontínua em
-qualquer função sempre contínua em
Apenas como exemplo, podemos tomar
E também
Logo, teremos: . Note que é contínua toda vida. Por outro lado, a presença de torna a própria sempre descontínua!
Resposta
onde