Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 28
Dê um exemplo de uma função tal que seja contínua em mas que não seja contínua em nenhum ponto de .
Passo 1
Neste exercício, devemos imaginar qualquer função de duas variáveis que seja descontínua em qualquer ponto, mas cuja derivada seja sempre contínua.
Esta questão parece uma loucura, mas podemos resolvê-la facilmente como o pulo do gato: vamos dividir em uma some de duas funções e .
Passo 2
A nossa estratégia do malandro será tomar:
Agora, o truque está em definirmos e de forma conveniente. Assim, vamos tomar:
-qualquer função sempre descontínua em
-qualquer função sempre contínua em
Apenas como exemplo, podemos tomar
E também
Logo, teremos: . Note que é contínua toda vida. Por outro lado, a presença de torna a própria sempre descontínua!
Resposta
onde
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Seja f :R → R uma função diferenciável e seja g x , y = f y + f x y . Verifique que x ∂ f ∂ y + y ∂ g ∂ y = y f ' y
A função p = p V , T é dada implicitamente pela equação p V = n R T , onde neR são constantes não-nulas. Calcule: ∂ p ∂ Ve∂ p ∂ T
Seja z = e x 2 + y 2 ,x = ρ cos θey = ρ sin θ . Verifique que ∂ z ∂ ρ = e x 2 + y 2 2 x cos θ + 2 y sin θ Conclua que ∂ z ∂ ρ = ∂ z ∂ x cos θ + ∂ z ∂ y sin θ
Seja z = f x + a t , onde f é uma função diferenciável de uma variável real e a uma constante. Verifique que ∂ z ∂ t = a ⋅ ∂ z ∂ x
Determine ∂ f ∂ xe ∂ f ∂ y sendo: