Dê um exemplo de uma função f: R^2 -> R tal que ∂f / ∂y seja contínua em R^2 mas que f não seja contínua em nenhum ponto de R^2 .

Passo 1

Neste exercício, devemos imaginar qualquer função de duas variáveis que seja descontínua em qualquer ponto, mas cuja derivada ∂ f ∂ y seja sempre contínua.

Esta questão parece uma loucura, mas podemos resolvê-la facilmente como o pulo do gato: vamos dividir f x , y em uma some de duas funções f 1 x e f 2 y .

Passo 2

A nossa estratégia do malandro será tomar:

f x , y = f 1 x + f 2 y

Agora, o truque está em definirmos f 1 x e f 2 y de forma conveniente. Assim, vamos tomar:

- f 1 x = qualquer função sempre descontínua em x

- f 2 y = qualquer função sempre contínua em y

Apenas como exemplo, podemos tomar

f 1 x = 1 s e   x   é   r a c i o n a l - 1 s e   x   é   i r r a c i o n a l

E também

f 2 y = y

Logo, teremos: f x , y = f 1 x + y . Note que ∂ f ∂ y = 1 é contínua toda vida. Por outro lado, a presença de f 1 x torna a própria f sempre descontínua!

Resposta

f x , y = f 1 x + y

onde

f 1 x = 1 s e   x   é   r a c i o n a l - 1 s e   x   é   i r r a c i o n a l

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