Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 27
Considere a função . Como você definiria o plano tangente ao gráfico de no ponto ? Admitindo que admita derivadas parciais em , escreva a equação do plano que você acha que seja um “forte” candidato a plano tangente ao gráfico da no ponto .
Passo 1
O que nós devemos entender por “plano tangente a uma superfície”?
Bem, se olharmos uma curva bem de perto, ela nos parecerá um segmento de reta. Da mesma forma, se olharmos bem de perto uma superfície, ela nos parecerá um pedacinho de plano! É este o conceito!
Passo 2
O plano tangente deverá ter uma equação na forma
onde representa um vetor normal ao plano.
Note que, num ponto , o vetor normal pode ser tomado como o gradiente da própria função . Isto é:
Mas, como , temos .
Logo, substituindo na equação do plano, ficamos com
Mas, como o ponto , com , deve pertencer ao plano, devemos ter
Dai, descobrimos o coeficiente ! Ou seja, a equação do plano tangente fica:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)