Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 25

Suponha que z = f x , y admita derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) . Considere as curvas cujas imagens estão contidas no gráfico da f :

γ 1 = x = x 0 y = t z = f ( x 0 , t )

e

γ 2 = x = t y = y 0 z = f ( t , y 0 )

Sejam T 1 e T 2 as retas tangentes a γ 1 e γ 2 , nos pontos γ 1 ( y 0 ) e γ 2 ( x 0 ) , respectivamente. Mostre que a equação do plano determinado pelas retas T 1 e T 2 é

z - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Passo 1

É dada uma função f de duas variáveis e umas curvas γ 1 e γ 2 contidas em f .

Note que, como as curvas DEVEM pertencer ao gráfico da f ( z = f ( x , y ) ), devem existir as seguintes relações entre as componentes de γ 1 e γ 2 :

γ 1 , z t = f γ 1 , x t , γ 1 , y t

γ 2 , z t = f γ 2 , x t , γ 2 , y t

Neste momento, convêm derivar as relações acima em relação a t e deixar o resultado anotado desde já:

γ 1 ' = x = 0 y = 1 z = f ' ( x 0 , t )

γ 2 = x = 1 y = 0 z = f ' ( t , y 0 )

Passo 2

Agora, para determinar a reta tangente a γ 1 e γ 2 no ponto x 0 , y 0 , z 0 , recorremos à figura abaixo:

Note que, pela figura, um ponto qualquer x , y , z sobre a reta tangente será dado pela soma do vetor ponto de referência, no caso x 0 , y 0 , z 0 , com o vetor α γ ' , para algum número α . Escrevendo isto em forma de equação, temos:

x , y , z 1 = x 0 , y 0 , z 0 + α 1 γ 1 '

x , y , z 2 = x 0 , y 0 , z 0 + α 2 γ 2 '

Mas, recorrendo à relações para γ 1 ' e γ 2 ' que deixamos anotadas no começo, obtemos:

x 1 = x 0 y 1 = y 0 + α 1 z 1 = z 0 + α 1 f ' ( x 0 , t )

x 2 = x 0 + α 2 y 2 = y 0 z 2 = z 0 + α 2 f ' ( t , y 0 )

que são as equações das retas tangentes no ponto!

Passo 3

Sejam T 1 e T 2 as retas obtidas no passo anterior. Devemos mostrar que estas retas satisfazem a equação:

z - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Neste ponto, note que ∂ f ∂ x x , y é exatamente igual a ∂ f ∂ t t , y ! Basta trocarmos mentalmente as variáveis. Logo, a equação pode ser escrita como

z - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ t t 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ t x 0 , t 0 y - y 0

Agora, será que nossas retas T 1 e T 2 se encaixam nesta equação? Bem, basta substituir o x , y , z das retas ali para sabermos ao certo:

z 0 + α 1 f ' ( x 0 , t ) - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ t t 0 , y 0 x 0 - x 0 + ∂ f ∂ t x 0 , t 0 y 0 + α 1 - y 0

z 0 + α 2 f ' ( t , y 0 ) - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ t t 0 , y 0 x 0 + α 2 - x 0 + ∂ f ∂ t x 0 , t 0 y 0 - y 0

Simplificando e cancelando termos, estas equações nos fornecem o seguinte:

z 0 - f x 0 , y 0 = 0

z 0 - f x 0 , y 0 = 0

O que é verdade demais!! As equações são idênticas! Isto significa que a única condição para T 1 e T 2 estarem contidas no plano dado é elas existirem!

A interpretação geométrica é simples: todas as retas tangentes a uma superfície num ponto estão no próprio plano tangente (o plano tangente é a coleção de todas as retas tangentes!).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O paraboloide z = 6 - x - x 2 - 2 y 2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto 1 ,2 ,- 4 . Use um computador para faze
As seguintes superfícies, rotuladas a , b e c são gráficos de uma função f e de suas derivadas parciais f x e f y . Identifique cada superfície e dê razões para sua escolha.
O elipsoide 4 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto 1 ,2 ,2 .
A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela velocidade. Os valores da função h = f v ,t são apresentados em pés na tabela
95. Seja x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = 0,0 (a) Use um computador para traçar o gráfico de f .