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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 101b

Seja

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

(b) Determine f x x , y e f y x , y quando x , y ≠ 0,0 .

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Vamos começar!

A questão nos dá a função

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

E pede para determinar as derivadas parciais f x e f y quando x , y ≠ 0,0 !

Relembrando: Para calcular derivadas parciais a gente considera as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes!

Por exemplo, se buscamos f x nós derivamos a função f em x enquanto consideramos y constante!

Dessa forma, so precisamos fazer isso para os dois casos e teremos nossa resposta!

Passo 2

A condição que o enunciado impõe é x , y ≠ 0,0 , e nesse caso a nossa função é:

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos a função f em x enquanto consideramos y constante

f x = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2

f x = ∂ f ∂ x

f x = ∂ ∂ x x 3 y - x y 3 x 2 + y 2

Que pode ser resolvido usando a regra do quociente!

Relembrando:

Seja

z = f x g x

Então

z ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x ²

De forma que no nosso caso ficamos com o seguinte

f x = 3 x 2 y - y 3 x 2 + y 2 - x 3 y - x y 3 2 x x 2 + y 2 2

Simplificando

f x x , y = y x 4 + 4 x 2 y 2 - y 4 x 2 + y 2 2

Passo 3

Da mesma forma, agora vamos derivar em relação a y , tornando x constante

f y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2

f y = ∂ f ∂ y

f y = ∂ ∂ y x 3 y - x y 3 x 2 + y 2

Usando a regra do quociente mais uma vez, temos

f y = x 3 - 3 x y 2 x 2 + y 2 - x 3 y - x y 3 2 y x 2 + y 2 2

Ou ainda

f y x , y = x 5 - 4 x 3 y 2 - x y 4 x 2 + y 2 2

Resposta

f x x , y = y x 4 + 4 x 2 y 2 - y 4 x 2 + y 2 2

f y x , y = x 5 - 4 x 3 y 2 - x y 4 x 2 + y 2 2

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