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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 18

Seja f (x , y) = x^3 y^2 - 6 x y + Phi (y) . Determine uma função Phi de modo que

(del f)/(del y) = 2 x^3 y - 6 x + (y)/(y^2 + 1)

Passo 1

Primeiro vamos calcular (del f)/(del y) :

(del f)/(del y) = (del (x^3 y^2 - 6 x y + Phi (y)))/(del y) = 2 x^3 y - 6 x + Phi ' (y)

Passo 2

Agora igualamos esse resultado encontrado com o que foi dado:

2 x^3 y - 6 x + (y)/(y^2 + 1) = 2 x^3 y - 6 x + Phi ' (y)

Phi ' (y) = (y)/(y^2 + 1)

Passo 3

Agora que temos Phi ' (y) precisamos da suas primitiva:

Phi (y) = int (y)/(y^2 + 1) d y

Aplicaremos a substituição: u = y^2 + 1 -> d u = 2 y d y

Phi (u) = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (ln |u|)/(2)

Voltando pro original:

Phi (y) = (ln |y^2 + 1|)/(2)

Como y^2 + 1 > 0 p a r a t o d o y ϵ R :

Phi (y) = (ln ( y^2 + 1 ))/(2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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