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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 7

Seja z = e y Φ x - y , onde Φ é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = z

Passo 1

Primeiro vamos considerar cada uma das derivadas parciais:

∂ z ∂ x = ∂ e y Φ x - y ∂ x

Se considerarmos que

∂ Φ x - y ∂ x = 1 → ∂ e y Φ x - y ∂ x = ∂ e y ∂ x × ∂ Φ x - y ∂ x = e y × 1 = e y

Lembrando que quando fazemos a derivada em x o e y é considerado uma constante.

E:

∂ z ∂ y = ∂ e y Φ x - y ∂ y

Lembrando que para derivada parcial em y teremos duas funções se multiplicando e aí aplicamos a regra do produto.

∂ Φ x - y ∂ y = - 1 → ∂ e y Φ x - y ∂ y = ∂ e y ∂ y Φ x - y × e y ∂ Φ x - y ∂ y

e y × Φ x - y + e y × - 1 = e y Φ x - y - e y

Passo 2

Agora somamos as duas derivadas parciais:

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = e y + e y Φ x - y - e y = e y Φ x - y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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