Considere a função dada por z = x sen(x / y) , verifique que

x (∂z/∂x) + y (∂z/∂y) = z

Passo 1

Vamos fazer cada uma das derivadas parciais e substituir pra encontrar o resultado:

∂ z ∂ x = ∂ x sin ⁡ x y   ∂ x = sin ⁡ x y + x cos ⁡ x y 1 y = sin ⁡ x y + x y cos ⁡ x y

∂ z ∂ y = ∂ x sin ⁡ x y ∂ y = x cos ⁡ x y - x y 2 = - x 2 y 2 cos ⁡ x y

Passo 2

Agora substituímos:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = x sin ⁡ x y + x y cos ⁡ x y + y - x 2 y 2 cos ⁡ x y

= x sin ⁡ x y + x 2 y cos ⁡ x y - x 2 y cos ⁡ x y = x sin ⁡ x y  

Passo 3

Comparando os resultados:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = x sin ⁡ x y  

z = x sin ⁡ x y

Assim:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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