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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 37

A tensão T no cordel do ioiô na figura é

T = m g R 2 r 2 + R 2

onde m é massa do ioiô e g é a aceleração pela gravidade. Utilize as diferenciais para estimar a variação na tensão se R aumentar de 3   c m para 3,1   c m e r aumentar de 0,7   c m para 0,8   c m . A tensão aumenta ou decresce?

Passo 1

A questão fornece a tensão T no fio de um ioiô como função de r e R :

T = m g R 2 r 2 + R 2

Queremos saber o que acontece se R aumentar de 3   c m para 3,1   c m e r aumentar de 0,7   c m para 0,8   c m . Para isso, temos que tomar a diferencial:

d T = ∂ T ∂ R d R + ∂ T ∂ r d r

Passo 2

Tomando as derivadas:

∂ T ∂ R = m g   1 ⋅ 2 r 2 + R 2 - R ⋅ 2 R 2 2 r 2 + R 2 2 = m g 2 r 2 + R 2 2 ⋅ ( 2 r 2 - R 2 )

∂ T ∂ r = m g   0 ⋅ 2 r 2 + R 2 - R ⋅ 4 r 2 r 2 + R 2 2 = - m g 2 r 2 + R 2 2 ⋅ ( 4 r R )

Assim,

d T = m g 2 r 2 + R 2 2 ⋅ 2 r 2 - R 2   d R - 4 r R   d r

Como só queremos saber o sinal de d T , vamos nos preocupar com

I = 2 r 2 - R 2   d R - 4 r R   d r

Passo 3

Temos que r = 0,7 e d r = 0,1 , R = 3 e d R = 0,1 :

I = 2 ⋅ 0,49 - 9 ⋅ 0,1 - 4 ⋅ 0,7 ⋅ 3 ⋅ 0,1

Portanto,

I = - 0,752 - 0,84 = - 1,592

Desta forma, vemos que

d T < 0

Portanto, T diminui!

Resposta

Diminui.

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