Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 9
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de e que contenham a intersecção dos planos e .
Passo 1
Primeiramente, vamos encontrar a intersecção dos planos. Quando dois planos se intersectam formam uma reta de intersecção.
Neste caso, como um dos planos é , podemos concluir que a coordenada da reta será sempre e que . Substituindo na equação do outro plano
Se fizermos podemos escrever a reta como a função
Passo 2
Achando agora o plano tangente
Onde são as coordenadas do ponto genérico onde o plano tangencia a função.
Calculando as derivadas no ponto
E a função no ponto é , substituindo na equação do plano
Passo 3
Como o plano contém a reta, a direção da reta tem que ser perpendicular a normal do plano.
A reta tem direção definida pelos coeficientes de em cada coordenada .
A normal do plano é definida pelos coeficientes da equação do plano .
Temos que, por serem perpendiculares:
Podemos ainda pegar um ponto qualquer da reta, quando e jogarmos da equação do plano
Usando a igualdade
Uma das possibilidades é
E a outra
Então temos dois planos, quando
E quando