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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 50

Encontre o ponto no gráfico de z = x2 + y2 + 10 mais próximo

do plano x + 2y – z = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, precisamos encontrar o ponto sobre o gráfico z = x 2 + y 2 + 10 mais próximo do plano x + 2 y - z = 0 . Vamos lá?

Passo 2

Veja que, neste exercício, queremos o ponto em z = x 2 + y 2 + 10 em que o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y - z = 0 . Para encontrarmos o vetor normal a z = x 2 + y 2 + 10 , seja w = z - x 2 - y 2 - 10 . Seu gradiente valerá então:

∇ w = - 2 x i - 2 y j + k

Sendo esse o vetor normal a z = x 2 + y 2 + 10 em ( x , y ) .Observe que o vetor ∇ w é paralelo a i + 2 j - k , que é normal aos planos se

x = 1 2 y = 1

Substituindo os valores de x e y em z = x 2 + y 2 + 10 , obteremos z = 1 4 + 1 + 10 Desse modo, verificamos que o ponto 1 2 , 1 , 1 4 + 1 + 10 é o ponto sobre a superficie z = x 2 + y 2 + 10 mais próximo do plano x + 2 y - z = 0 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja S a superfície de equação z = 2 - x 2 - x y + y 2 4 . b ) Escreva as equações da reta normal à S que é paralela à reta L .
Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide de equação x 2 - 2 y 2 - 4 z 2 = 10 no ponto 4 ,- 1 ,1 .
Considere a curva C de intersseção das superfícies definidas de equações x 2 - 2 x z + y 2 z = 3 e 3 x y - 2 y z = - 2 . Determine:Os pontos do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 0 onde o plano tangente é
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine a equação do plano tangente à S 1 em ( 1,1 , 1 ) .
15. Uma peça de metal, com formato de cone de equação z 2 - x 2 9 - y 2 = 0 ,z ≥ 0 deve ser apoiada numa haste de ponto P 0 = 9,4 , 5 , de modo que a haste fique perpendicular à superfície do cone.a)