Encontre o ponto no gráfico de z = x2 + y2 + 10 mais próximo

do plano x + 2y – z = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, precisamos encontrar o ponto sobre o gráfico z = x 2 + y 2 + 10 mais próximo do plano x + 2 y - z = 0 . Vamos lá?

Passo 2

Veja que, neste exercício, queremos o ponto em z = x 2 + y 2 + 10 em que o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y - z = 0 . Para encontrarmos o vetor normal a z = x 2 + y 2 + 10 , seja w = z - x 2 - y 2 - 10 . Seu gradiente valerá então:

∇ w = - 2 x i - 2 y j + k

Sendo esse o vetor normal a z = x 2 + y 2 + 10 em ( x , y ) .Observe que o vetor ∇ w é paralelo a i + 2 j - k , que é normal aos planos se

x = 1 2 y = 1

Substituindo os valores de x e y em z = x 2 + y 2 + 10 , obteremos z = 1 4 + 1 + 10 Desse modo, verificamos que o ponto 1 2 , 1 , 1 4 + 1 + 10 é o ponto sobre a superficie z = x 2 + y 2 + 10 mais próximo do plano x + 2 y - z = 0 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados