beta é um plano tangente aos gráficos de f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 e g(x, y) = -x^2 - y^2 . Mostre que a^2 + b^2 = 1 , sendo (a, b, f(a, b)) o ponto em que beta tangencia o gráfico de f .

Passo 1

A questão definiu o ponto a , b , f a , b , como o ponto em que β tangencia f , definindo também m , n , g m , n como sendo o ponto em que β tangencia g .

Vamos então encontrar o plano tangente a f em a , b

z - f a , b = f x a , b x - a + f y a , b ( y - b )

Calculando as derivadas em a , b

f x a , b = 2 a

f y a , b = 2 b

E a função f a , b = 2 + a 2 + b 2 , substituindo

z - 2 + a 2 + b 2 = 2 a x - a + 2 b ( y - b )

z - 2 - a 2 - b 2 = 2 a x + 2 b y - 2 a 2 - 2 b 2

2 a x + 2 b y - z = a 2 + b 2 - 2

Passo 2

Vamos então encontrar agora o plano tangente a g em m , n

z - g m , n = g x m , n x - m + g y m , n ( y - n )

Calculando as derivadas em m , n

g x m , n = - 2 m

g y m , n = - 2 n

E a função g m , n = - m 2 - n 2 , substituindo

z + m 2 + n 2 = - 2 m x - m - 2 n ( y - n )

z + m 2 + n 2 = - 2 m x - 2 n y + 2 m 2 + 2 n 2

- 2 m x - 2 n y - z = - m 2 - n 2

Passo 3

O plano β é encontrado quando os dois planos que achamos são iguais, então temos o sistema com a igualdade de cada coeficiente e a constante

2 a = - 2 m ⇒ m = - a 2 b = - 2 n ⇒ n = - b a 2 + b 2 - 2 = - m 2 - n 2

Substituindo os valores das duas primeiras equações na última

a 2 + b 2 - 2 = - - a 2 - ( - b ) 2

a 2 + b 2 - 2 = - a 2 - b 2

2 a 2 + b 2 = 2

a 2 + b 2 = 1

O conjunto de pontos que satisfazem a condição dada está na circunferência a 2 + b 2 = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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