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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 12

Determine os planos tangentes ao gráfico de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e que contenham o eixo O x .

Passo 1

Show de batutinhas galerinha bonita, queremos descobrir os planos tangentes ao gráfico de f x , y = 2 + x 2 + y 2 que contenham o eixo x

Mas calma lá meu patrão, primeiro tudo podemos encontrar os vetores normais desses planos tangentes. Pela definição, o vetor normal é dado por

n → = ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 , ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ,   - 1

Onde ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 é a derivada parcial de f em relação a x no ponto x 0 ,   y 0 e ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 é a derivada parcial de f   em relação a y também no ponto x 0 ,   y 0 . Dessa forma temos que

n → = ∂ ( 2 + x 2 + y 2 ) ∂ x x 0 ,   y 0 , ∂ 2 + x 2 + y 2 ∂ y x 0 ,   y 0 ,   - 1

n → = 2 x 0 , 2 y 0 ,   - 1

Passo 2

Belezinha então, temos o vetor normal n → = 2 x 0 , 2 y 0 ,   - 1   e sabemos que dado um vetor normal qualquer ( a ,   b ,   c ) , o plano que é normal a esse vetor é

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Logo, nosso vetor normal n → = 2 x 0 , 2 y 0 ,   - 1 admite o plano

2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 y - y 0 - ( z - z 0 ) = 0

Passo 3

Temos então que o nosso plano tem essa cara feia aqui

2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 y - y 0 - ( z - z 0 ) = 0

MAAAASSS, agora que vem o pulo do gato. O enunciado diz pra gente que queremos um plano que contenha o eixo O x , isso quer dizer que se o plano contém esse eixo, todos os pontos que estão nesse eixo x, também estarão no plano.

Ou seja, se o eixo x é dado por c ∈ R     c ,   0 ,   0 , todos esses pontos também estarão no plano. Por exemplo, os pontos ( 1 ,   0 ,   0 ) e ( - 2 ,   0 ,   0 ) estão no nosso plano.

Quer dizer então que podemos substituir esses pontos na equação do plano 2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 y - y 0 - ( z - z 0 ) = 0 , para encontrarmos os valores respectivos.

Passo 4

Substituindo o ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) temos

2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 y - y 0 - ( z - z 0 ) = 0

2 x 0 1 - x 0 + 2 y 0 0 - y 0 - ( 0 - z 0 ) = 0

2 x 0 - 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + z 0 = 0

Lembrando que z 0 = f ( x 0 ,   y 0 ) = 2 + x 0 2 + y 0 2 , logo

2 x 0 - 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + 2 + x 0 2 + y 0 2 = 0

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0           I

E agora substituindo o ponto ( - 2 ,   0 ,   0 ) chegamos em

2 x 0 x - x 0 + 2 y 0 y - y 0 - ( z - z 0 ) = 0

2 x 0 - 2 - x 0 + 2 y 0 0 - y 0 - ( 0 - z 0 ) = 0

- 4 x 0 - 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + z 0 = 0

- 4 x 0 - 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + 2 + x 0 2 + y 0 2 = 0

- 4 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0             ( I I )

Iradoso, agora que temos duas equações, ( I ) e ( I I ) , podemos montar um sisteminha e resolver elas

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0           I - 4 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0             I I

Fazendo a primeira menos a segunda, temos que

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 - - 4 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0

6 x 0 = 0

x 0 = 0

E colocando esse valor na equação ( I ) , obtemos

2 x 0 - x 0 2 - y 0 2 + 2 = 0           I

2 0 - 0 2 - y 0 2 + 2 = 0

y 0 2 = 2

y 0 = ± 2

Logo

z 0 = f x 0 ,   y 0 = 2 + x 0 2 + y 0 2

z 0 = 2 + 0 2 + 2 2 = 4

Portanto nosso ponto é

x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0 ,   ± 2 , 4

Passo 5

E agora tamo sagaz né chefe, já temos nosso ponto 0 ,   ± 2 , 4 , e já temos também a forma do vetor normal, n → = 2 x 0 , 2 y 0 ,   - 1 . Dessa forma os vetores normais serão

n 1 → = 2 0 ,   2 2 ,   - 1 = 0 ,   2 2 , - 1

n 2 → = 2 0 ,   2 - 2 ,   - 1 = 0 ,   - 2 2 , - 1

E por fim, podemos colocar tudo na equação do plano. Para o primeiro vetor normal temos

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

0 x - 0 + 2 2 y - 2 - z - 4 = 0

2 2 y - 4 - z + 4 - 0

z = 2 2 y

E agora para o segundo vetor normal, temos

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

0 x - x 0 - 2 2 y + 2 - z - 4 = 0

- 2 2 y - 4 - z + 4 = 0

z = - 2 2 y

E ai estão os bonitinhos, o plano z = 2 2 y e o plano z = - 2 2 y .

Resposta

z = 2 2 y

z = - 2 2 y

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Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine a equação do plano tangente à S 1 em ( 1,1 , 1 ) .
15. Uma peça de metal, com formato de cone de equação z 2 - x 2 9 - y 2 = 0 ,z ≥ 0 deve ser apoiada numa haste de ponto P 0 = 9,4 , 5 , de modo que a haste fique perpendicular à superfície do cone.a)