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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 15

Seja z = f x , y diferenciável em ( x 0 , y 0 ) . Seja S a função afim dada por S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c . Suponha que

f x , y = S x , y + E x , y

Com

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 = 0

Conclua que a = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) , b = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) e c = f ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

Para provar o que é pedido, devemos fazer uso do fato de a f ser um função diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .

Lembre-se que, se uma função é diferenciável num ponto x , y , temos duas coisas:

-As derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem em x , y ; e

-O limite lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 deve ser igual a zero, onde E x , y = f x , y - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 .

Pronto! Agora é só desenvolver a partir daqui que o resultado sairá por si só!

Passo 2

Vamos primeiro desenvolver a condição para a f ser diferenciável em ( x 0 , y 0 ) :

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 = lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Mas f x , y = S x , y + E x , y . Logo,

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ S x , y + E x , y - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Separando como a soma de dois limites, temos

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 + lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ S x , y - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Mas, pelo enunciado, o primeiro limite vale exatamente zero! Temos também, que S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c .

Assim, acabamos de obter o seguinte:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ a x - x 0 + b y - y 0 + c - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Uma expressão comprida! Mas com um significado simples: o único jeito desse limite ser zero é que o denominador seja zero:

a x - x 0 + b y - y 0 + c - f x 0 , y 0 - x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 - y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0

Juntando os termos iguais, é fácil verificar que, pra igualdade a zero ser cumprida, devemos ter

a = ∂ f ∂ x x 0 , y 0

b = ∂ f ∂ y x 0 , y 0

c = f x 0 , y 0

Como queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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