Seja z = f x , y diferenciável em ( x 0 , y 0 ) . Seja S a função afim dada por S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c . Suponha que f x , y = S x , y + E x , y Com lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 = 0 Conclua que a = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) , b = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) e c = f ( x 0 , y 0 ) .

Enunciado

Para provar o que é pedido, devemos fazer uso do fato de a ser um função diferenciável em .

Lembre-se que, se uma função é diferenciável num ponto , temos duas coisas:

-As derivadas parciais e existem em ; e

-O limite deve ser igual a zero, onde .

Pronto! Agora é só desenvolver a partir daqui que o resultado sairá por si só!

Vamos primeiro desenvolver a condição para a ser diferenciável em :

Mas . Logo,

Separando como a soma de dois limites, temos

Mas, pelo enunciado, o primeiro limite vale exatamente zero! Temos também, que .

Assim, acabamos de obter o seguinte:

Uma expressão comprida! Mas com um significado simples: o único jeito desse limite ser zero é que o denominador seja zero:

Juntando os termos iguais, é fácil verificar que, pra igualdade a zero ser cumprida, devemos ter

Como queríamos provar!

Ei, a resposta está no passo a passo :)