Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 7

Admita que, para todo (x,y),

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 .

Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 .

(Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valores de f sobre a elipse)

Passo 1

g t = f 2 c o s t , s e n t , essa curva é a parametrização da elipse, então, podemos resolver como no exercício anterior, mudando apenas o valor.

g ' t = f 2 c o s t , s e n t '

g '   t = ∂ f ∂ x 2 c o s t , s e n t ⋅ - 2 s e n t + ∂ f ∂ y 2 c o s t , s e n t ⋅ c o s t

(2cost,sent) = (x,y)

g '   t = ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 2 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x 2

2 ⋅ g '   t = 2 ⋅ ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 2 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x 2

g '   t = 1 2 ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 4 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x

g '   t = - 1 2 ∂ f ∂ x x , y ⋅ 4 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ - x

Pelo enunciado,

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0

Então,

g '   t = - 1 2 0

g '   t = 0

Segue que f é constante sobre a elipse.

Resposta

g '   t = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os Exercícios 67 e 68 estão relacionados com o triângulo mostrado a seguir.Expresse A implicitamente com uma função de a, b e c e calcule ∂A/∂a e ∂A/∂b
Duas variáveis dependentes Expresse yx em termos de u e y se as equações x = y ln u e y = u ln y definem u e y como funções das variáveis independentes x e y e se yx existe. (Sugestão: diferencie amba
Duas variáveis dependentes Encontre ∂x/∂u e ∂y/∂u se as equações u=x ²–y ² ² ² e y=x ²–y ² definem x e y como funções das variáveis independentes u e y, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugest
Considerando que as equações nos Exercícios 35 e 36 definem y como uma função diferenciável de x, encontre o valor de dy/dx no ponto P. 2 x y + e y + x - 2 = 0 P ( 0 , ln ⁡ 2 )
Considerando que as equações nos Exercícios 35 e 36 definem y como uma função diferenciável de x, encontre o valor de dy/dx no ponto P. 1 - x - y 2 - s e nx y = 0 P ( 0,1 )