Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 8

A imagem da curva   γ t = 2 t , t 2 , z t   está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1   e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 .

Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 ) .

Passo 1

A equação da reta tangente é x , y , z = γ t + λ γ ' t ,   λ ∈ R .

Para a nossa questão,

x , y , z = γ 1 + λ γ ' 1 ,   λ ∈ R

  γ 1 = x , y , z t = 2,1 , z 1 = 2,1 , f x , y = 2,1 , 3

  γ ' t = 2,2 t , d z d t

z = f 2 t , t 2 = > d z d t = ∂ f ∂ x 2 t , t 2 d x d t + ∂ f ∂ y 2 t , t 2 d y d t .

Assim,

d z d t = 2 ∂ f ∂ x 2 t , t 2 + 2 t ∂ f ∂ y 2 t , t 2

Substituindo t = 1,

d z d t | t = 1 = 2 ∂ f ∂ x 2,1 + 2 ∂ f ∂ y 2,1

2 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 1 = 0

Segue que

  γ ' 1 = 2,2 , 0

A equação da reta tangente é, então,

x , y , z = 2,1 , 3 + λ 2,2 , 0 , λ ∈ R .

Resposta

x , y , z = 2,1 , 3 + λ 2,2 , 0 , λ ∈ R .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a implicitamente como uma função de A, b e B e calcule ∂a/∂A e ∂a/∂B
Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) se a equação xy + z³x – 2yz = 0 define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e se a derivada parcial existe.
Encontre f x,f y,f x yef y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.
Encontre o valor de ∂x/∂z no ponto (1, –1, –3) se a equação xz + y ln x – x2 + 4 = 0 define x como uma função de duas variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe
Encontre f x,f y,f x yef y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.