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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 14

14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

z = t 2 f x , y

Derivando em relação do t pela regra do produto, temos:

d z d t = 2 t f x , y + t 2 f x , y '

Passo 2

Agora vamos achar a derivada de f x , y . Do enunciado a gente sabe o seguinte:

x = t 2 e y = t 3

Substituindo na expressão de f :

f t 2 , t 3

Derivando, temos:

f t 2 , t 3 ' = 2 t ∂ f ∂ x + 3 t 2 ∂ f ∂ y

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

d z d t = 2 t f x , y + t 2 f x , y '

Assim,

d z d t = 2 t f x , y + t 2 2 t ∂ f ∂ x + 3 t 2 ∂ f ∂ y

Colocando t em evidencia:

d z d t = 2 t f x , y + t 3 2 ∂ f ∂ x + 3 t ∂ f ∂ y

Resposta

d z d t = 2 t f x , y + t 3 2 ∂ f ∂ x + 3 t ∂ f ∂ y

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