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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 7

Propriedades de vetores posição Seja r = xi + yj + zk e seja

r = |r|.

a. Mostre que §r = r/r.

b. Mostre que §(rn) = nr n–2r.

c. Encontre uma função cujo gradiente seja igual a r.

d. Mostre que r ∙ dr = r dr.

e. Mostre que §(A ∙ r) = A para qualquer vetor constante A.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Esta questão trata de gradientes e tangentes e nosso objetivo é resolver os cinco itens abaixo:Seja r = x i + y j + z k e r = | r | (a) Mostraremos que ∇ r = r | r | (b) Mostraremos agora que ∇ r n = n r n 2 ⋅ r (c) Encontraremos uma equação as quais os gradientes são iguais a r .(d) Mostraremos que r d r = r ⋅ d r (e) Mostraremos também que ∇ ( A ⋅ r ) = A para qualquer vetor constante A .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja r = x i + y j + z k com r = | r | = x 2 + y 2 + z 2 e

∇ r = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Vemos então que ∇ r = r r

Passo 3

Seja r n = x 2 + y 2 + z 2 , então o gradiente será:

∇ r n = n x x 2 + y 2 + z 2 ( n / 2 ) - 1 i + n y x 2 + y 2 + z 2 ( n / 2 ) - 1 j + n z x 2 + y 2 + z 2 ( n / 2 ) - 1 k ∇ r n = n r n - 2 r

Passo 4

Com n = 2 para o valor encontrado na parte (b). Então:

1 2 ∇ r 2 = r ∇ 1 2 r 2 = r

Voltando a r temos:

r 2 2 = 1 2 x 2 + y 2 + z 2  é a função 

Passo 5

Temos que:

d r = d x i + d y j + d z k

Assim:

r ⋅ d r = x d x + y d y + z d z

E por outro lado:

d r = r x d x + r y d z = x r d x + y r d y + z r d z

Assim encontramos r d r = x d x + y d y + z d z = r ⋅ d r

Passo 6

Para A = a i + b j + c k teremos:

A ⋅ r = a x + b y + c z

O gradiente então é:

∇ ( A ⋅ r ) = a i + b j + c k = A

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada: u x , y = 2 x - y
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:b) y = 2 x 2 ; P - 1 ,2
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:a) 2 x 2 + 3 y 2 = 8 ; P 1 ,2
Dados A 1 , 3 2 e B 1 2 ,2 e a função f x , y = ln ⁡ x y . Determinar o ângulo formado pelos vetores ∇ f A e ∇ f B .
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:b) z = 2 x 2 + 4 y 2 ; P 0,0 , 0