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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 3

Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .

Passo 1

Vamos lá, a transformação do exercício anterior é:

x = u + v y = u - v

Isolando o u na primeira e o v na segunda, temos:

u = x - v

v = u - y

Agora a gente substitui um no outro pra colocar os dois em função só de x   e   y .

u = x - ( u - y )

2 u = x + y

u = x + y 2

E...

v = x - v - y

2 v = x - y

v = x - y 2

Passo 2

Beleza, chegamos na seguinte transformação:

u = x + y 2 v = x - y 2

Vamos substituir na equação do círculo então...

u 2 + v 2 ≤ r 2

x + y 2 2 + x - y 2 2 ≤ r 2

x 2 + 2 x y + y 2 4 + x 2 - 2 x y + y 2 4 ≤ r 2

2 x 2 + 2 y 2 4 ≤ r 2

x 2 + y 2 2 ≤ r 2

x 2 + y 2 ≤ 2 r 2

Show de bola! Chegamos ao resultado que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Descreva e esboce a região D .
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .
Considere a aplicação definida por x = u v e y = v - u Calcule a a área de D .
Calcule ∫ ∫ D 2 x + 1d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .