Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.2 - Ex. 16
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):
Caso ele não exista, devemos demonstrar.
De cara já podemos ver que não é contínua no ponto já que o denominador seria igual a zero.
Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar ao longo do eixo , depois vamos aproximar ao longo do eixo e, em seguida, ao longo da reta .
Onde é uma constante.
Com isso, se tivermos resultados iguais, então o limite existe!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Para sabermos se existe limite vamos aproximar ao longo do eixo , ou seja, tomar
Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de .
Passo 3
Agora vamos aproximar ao longo do eixo , ou seja, tomar :
Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de .
Passo 4
Agora vamos aproximar pela reta . Assim, temos:
Colocando o do denominador em evidência:
Cortando os termos iguais:
Sabemos que, ao aplicar o limite, , portanto:
Então, galerinha, se tentarmos a aproximação pelas parábolas ou , o limite também dá zero.
Logo, há uma forte suspeita de que o limite seja zero.
Passo 5
Para confirmar nossa suspeita vamos utilizar o teorema do confroto!
Sabemos que:
Logo,
Como , podemos multiplicar nos dois lados:
Passo 6
Agora vamos aplicar o limite:
Sabemos que, ao aplicar o limite, , portanto:
Assim, pelo Teorema do Confronto, podemos dizer que: