Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x , depois vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y e, em seguida, ao longo da reta x = m y .

Onde m é uma constante.

Com isso, se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x , ou seja, tomar y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 s e n 2 0 x 2 + 2 ⋅ 0 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0

Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de x .

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y , ou seja, tomar x = 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 0 2 s e n 2 y 0 2 + 2 y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 0

Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de y .

Passo 4

Agora vamos aproximar pela reta y = m x . Assim, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , m x = x 2 s e n 2 m x x 2 + 2 m x 2

Colocando o x 2 do denominador em evidência:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , m x = x 2 s e n 2 m x x 2 1 + 2 m 2

Cortando os termos iguais:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , m x = s e n 2 m x 1 + 2 m 2

Sabemos que, ao aplicar o limite, s e n 0 = 0 , portanto:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 m x 1 + 2 m 2 = 0

Então, galerinha, se tentarmos a aproximação pelas parábolas y = x 2 ou x = y 2 , o limite também dá zero.

Logo, há uma forte suspeita de que o limite seja zero.

Passo 5

Para confirmar nossa suspeita vamos utilizar o teorema do confroto!

Sabemos que:

x 2 ≤ x 2 + 2 y 2

Logo,

x 2 x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Como   s e n 2 y ≥ 0 , podemos multiplicar s e n 2 y nos dois lados:

0 ≤ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ s e n 2 y

Passo 6

Agora vamos aplicar o limite:

0   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) s e n 2 y

Sabemos que, ao aplicar o limite, s e n 0 = 0 , portanto:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ 0

Assim, pelo Teorema do Confronto, podemos dizer que:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 = 0

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 = 0

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