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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.2 - Ex. 8

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y    

Passo 1

Fala, belezinha?

Vamos começar a resolver esse limite?

Para encontrar o limite da função l n   1 + y 2 x 2 + x y     quando ( x , y ) se aproxima de ( 1,0 ) , podemos substituímos y por uma expressão em termos de x , como m x , e simplificamos a função para facilitar o cálculo do limite.

Depois, avaliamos se o resultado do limite, o que nos permite determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Agora é só resolver!

Passo 2

Fala aí! Precisamos resolver esse limite e verificar se ele existe, beleza?

Vamos nessa! Nossa função é a seguinte:

f x , y = l n   1 + y 2 x 2 + x y

Precisamos lembrar que a função 1 + y 2 , que é nosso numerador, é contínua por ser polinomial, certo? Então da mesma forma, a função x 2 + x y também será contínua!

Passo 3

Opa! Então a nossa função racional:

1 + y 2 x 2 + x y

Será contínua! Mas só quando x   ≠   0 e x   ≠ - y , tranquilo?

Então a gente pode chegar na conclusão que nossa função:

1 + y 2 x 2 + x y

É contínua em seu domínio 1 + y 2 x 2 + x y   > 0 . vamos ter que a composição l n   1 + y 2 x 2 + x y é contínua para x   ≠   0 e x   ≠ - y … Mas o que isso nos diz?

Passo 4

Bom, podemos ver então que no limite dado, onde x , y = 1,0 , a função f x , y é contínua já que x = 1   ≠   0 e x   = 1   ≠ - y , opa! Agora nós já provamos que esse limite vai existir e sendo assim, vamos calcular ele!!

Bom, substituindo o limite temos:

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = l n   1 + 0 2 1 2 + 1.0

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = l n   1 1

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = l n   1 = 0

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

l i m x , y → 1,0 l n   1 + y 2 x 2 + x y = 0

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