Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 37
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Fala ai galerinha, Beleza? Vamos entender um pouquinho o enunciado?
Para determinar o maior conjunto onde é contínua, primeiro, temos que analisar a continuidade de em todos os pontos, exceto , onde a função é definida. Em seguida, temos que verificar se é contínua em .
Isso envolve examinar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em . Se sim, é contínua em . Determine, então, o maior conjunto onde é contínua baseado nesses resultados.
Agora sim, podemos começar!
Passo 2
A função que ele nos deu foi:
Inicialmente, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que :
Por ser uma funç��o racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Como só é igual a zero quando e esse ponto não faz parte do domínio, a função é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de .
Se o limite existir e for igual a 1, a função é contínua.
Como a soma de dois quadrados é sempre maior que zero:
Somando nos dois lados para ficar parecido com o denominador:
Logo,
Multiplicando os dois lados por , temos:
Pelo teorema do confronto:
Assim,
Então o nosso limite deu . Assim,
isso quer dizer que a função não é continua no ponto
Passo 4
Portanto, possui uma descontinuidade no ponto . Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua será o intervalo .
Resposta
.