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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 4f

Determine f de modo que g (f (x)) = x para todo x in D_g , sendo g dada por

g (x) = x^2 - 4 x + 3 , x >= 2

Passo 1

Se temos que

g (x) = x^2 - 4 x + 3

Então:

g (f ( x )) = [f (x)]^2 - 4 f (x) + 3

Para termos g (f (x)) = x então:

[f (x)]^2 - 4 f (x) + 3 = x

Passo 2

Agora, temos que isolar o f (x) , e para isso, podemos completar quadrados:

Quando temos o quadrado de uma diferença, temos os seguintes produtos notáveis:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

Nesse caso, temos [f (x)]^2 - 4 f (x) , então

a^2 = [f (x)]^2 => a = f (x)

- 2 a b = - 4 f (x) => - 2 f (x) b = - 4 f (x)

2 b = 4

b = 2

Então:

(f (x) - 2)^2 = [f (x)]^2 - 4 f (x) + 4

Mas como queremos apenas [f (x)]^2 - 4 f (x) , vamos isolar esse termo:

[f (x)]^2 - 4 f (x) = (f (x) - 2)^2 - 4

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[f (x)]^2 - 4 f (x) + 3 = x

(f (x) - 2)^2 - 4 + 3 = x

(f (x) - 2)^2 - 1 = x

(f (x) - 2)^2 = x + 1

Como x >= 2 , ou seja, x + 1 >= 0 podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados:

f (x) - 2 = sqrt(x + 1)

f (x) = sqrt(x + 1) + 2

Resposta

f (x) = sqrt(x + 1) + 2

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Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g ; em seguida, construa a composta h x = g f x g x = x - 1 e f : A → R , f x = 2 x + 1 x - 3
Verifique que I m f sub D_g e determine a composta h (x) = g (f (x)) .g (x) = sqrt(x) e f (x) = x^2 - x , x = 0 o u x = 1
Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g ; em seguida, construa a composta h x = g f x g x = 1 x e f : A → R , f x = x 3 - x 2
Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g ; em seguida, construa a composta h x = g f x g x = x - 1 e f : A → R , f x = x 2
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e (g)/(f) f (x) = {[[1 s e x in Q],[- 1 s e x !in Q]]) eg (x) = {[[- 1 s e x in Q],[1 s e x !in Q]])