Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 15
a) Ache uma função da forma que satisfaça a equação de Laplace
b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.
Passo 1
Bom, queremos achar uma função que satisfaça a equação de Laplace:
Para isso, vamos escrever e encontrar uma equação para equivalente a equação acima. Para isso, temos que escrever as derivadas parciais de como derivadas de .
Note que, pela regra da cadeia:
Analogamente,
Passo 2
Para a segunda derivada, temos que
Analogamente, fazendo a mesma coisa para , obtém-se
Assim, somando essas duas derivadas e igualando a :
Portanto,
Ou ainda,
Basta resolvermos essa equação diferencial que teremos resolvido o problema!
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos chamar
Assim, a equação é reescrita como
Essa equação é separável, de modo que
Integrando dos dois lados:
Assim,
Portanto,
Chegamos que:
Assim, a forma geral de uma solução da equação de Laplace é dada por
Passo 4
No item (b) ele pede para generalizarmos isso para uma função de um número qualquer de variáveis:
A equação de Laplace é dada por
Chamando , temos que
Tomando a segunda derivada, obtemos
Passo 5
Assim,
Mas note que
Assim,
Ou ainda
Note que para nós obtemos a mesma equação do item (a). Fazendo
Temos que
Assim,
Logo,
Portanto,
Vamos supor que pois já fizemos o caso . Assim,
Redefinindo as constantes:
Assim,