Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 19
Mostre que em um número infinito de pontos críticos e que em cada um. A seguir, mostre que tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que mostrar que a função
Tem um número infinito de pontos críticos e que para todos eles.
Além disso temos que mostrar que tem um ponto mínimo em cada ponto crítico.
Lembra como fazemos isso?
Para resolver esse problema, precisamos seguir os seguintes passos:
- Calcular as primeiras derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
- Igualar e a zero e resolver o sistema de equações para encontrar os pontos críticos.
- Calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , ou seja, , e .
- Calcular o determinante da matriz hessiana de , ou seja:
- Aplicar o critério da segunda derivada para classificar os pontos críticos como mínimos, máximos ou pontos de sela.
Veja só!
Passo 2
Para calcular as primeiras derivadas parciais de , usamos a regra da soma, da potência e do produto. Temos que:
E agora para encontrar os pontos críticos, igualamos e a zero e resolvemos o sistema de equações. Temos que:
Somando as duas equações, obtemos 0 = 0, que é uma identidade.
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, existem infinitos pontos críticos. Podemos reescrever a primeira equação como:
E substituir na segunda equação para obter
Que implica que .
Portanto, os pontos críticos são da forma para qualquer valor de .
Podemos escrever isso como , onde é uma constante arbitrária.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para calcular as segundas derivadas parciais de , usamos novamente as regras que usando anteriormente. Temos que:
Para calcular o determinante da matriz hessiana de , usamos a fórmula
Temos que:
Para aplicar o critério da segunda derivada, usamos o seguinte:
- Se e , então tem um mínimo local no ponto crítico.
- Se e , então tem um máximo local no ponto crítico.
- Se , então tem um ponto de sela no ponto crítico.
- Se , então o critério falha e não podemos concluir nada.
No nosso caso, temos que .
Portanto, não podemos concluir nada.
Show?
Passo 4
Se liga, podemos reescrever a função dada usando produto notável. Temos que:
Agora reparem que a função será sempre positiva , uma vez que:
Bora calcular o valor do ponto crítico achado neste termo.
Lembrando que e que é uma constante, temos:
Sendo assim, percebemos que no ponto crítico a função assume o seu valor mínimo possível , dessa forma, podemos dizer que é o ponto mínimo absoluto.
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
O ponto crítico é e é um ponto de mínimo absoluto.