Enunciado

Mostre que f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que mostrar que a função

f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2

Tem um número infinito de pontos críticos e que D = 0 para todos eles.

Além disso temos que mostrar que f tem um ponto mínimo em cada ponto crítico.

Lembra como fazemos isso?

Para resolver esse problema, precisamos seguir os seguintes passos:

  1. Calcular as primeiras derivadas parciais de f em relação a x e y , ou seja, f x e f y .
  2. Igualar f x e f y a zero e resolver o sistema de equações para encontrar os pontos críticos.
  3. Calcular as segundas derivadas parciais de f em relação a x e y , ou seja, f x x , f y y e f x y .
  4. Calcular o determinante da matriz hessiana de f , ou seja:
  5. D =   f x x · f y y - f x y 2

  6. Aplicar o critério da segunda derivada para classificar os pontos críticos como mínimos, máximos ou pontos de sela.

Veja só!

Passo 2

Para calcular as primeiras derivadas parciais de f , usamos a regra da soma, da potência e do produto. Temos que:

f x = 2 x - 4 y

f y = 8 y - 4 x

E agora para encontrar os pontos críticos, igualamos f x e f y a zero e resolvemos o sistema de equações. Temos que:

2 x - 4 y = 0 8 y - 4 x = 0 → x = 2 y 8 y - 4 2 y = 0

0 = 0

Somando as duas equações, obtemos 0 = 0, que é uma identidade.

Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, existem infinitos pontos críticos. Podemos reescrever a primeira equação como:

y = x 2

E substituir na segunda equação para obter

2 x - x = 0

Que implica que x = 0 .

Portanto, os pontos críticos são da forma 0 , y para qualquer valor de y .

Podemos escrever isso como 0 , k , onde k é uma constante arbitrária.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para calcular as segundas derivadas parciais de f , usamos novamente as regras que usando anteriormente. Temos que:

f x = 2 x - 4 y

f y = 8 y - 4 x

f x x = 2

f y y = 8

f x y = - 4

Para calcular o determinante da matriz hessiana de f , usamos a fórmula

D = f x x · f y y - f x y 2

Temos que:

D = 2 · 8 - - 4 2

D = 16 - 16

D = 0

Para aplicar o critério da segunda derivada, usamos o seguinte:

  • Se D > 0 e f x x > 0 , então f tem um mínimo local no ponto crítico.
  • Se D > 0 e f x x < 0 , então f tem um máximo local no ponto crítico.
  • Se D < 0 , então f tem um ponto de sela no ponto crítico.
  • Se D = 0 , então o critério falha e não podemos concluir nada.

No nosso caso, temos que D = 0 .

Portanto, não podemos concluir nada.

Show?

Passo 4

Se liga, podemos reescrever a função dada usando produto notável. Temos que:

f x , y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 = x - 2 y 2 + 2

Agora reparem que a função será sempre positiva , uma vez que:

x - 2 y 2 ≥ 0

Bora calcular o valor do ponto crítico achado neste termo.

Lembrando que y = x 2 e x = k que é uma constante, temos:

k - 2 · k 2 2 = 0

Sendo assim, percebemos que no ponto crítico a função assume o seu valor mínimo possível , dessa forma, podemos dizer que é o ponto mínimo absoluto.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

O ponto crítico é k   , k 2 e é um ponto de mínimo absoluto.

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