Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

Essa questão nos pede para encontrar os pontos críticos dessa função de duas variáveis, e a partir desses pontos, descobrir quais desses pontos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.

No cálculo de uma variável, descobrimos um ponto crítico de uma função ao tomar sua primeira derivada de modo que

Calculada essa expressão e encontrados os pontos críticos, tomamos a segunda derivada da função avaliada no ponto crítico para descobrirmos se é um ponto de máximo ou de mínimo

Para uma função de mais de uma variável, temos testes análogos para obter os pontos críticos.

Dessa vez, no entanto, devemos levar em consideração as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos

Porém, diferente do caso de uma variável, o teste para se obter máximos, mínimos e pontos de sela é realizado a partir do determinante de uma matriz chamada matriz hessiana

Sendo .

A partir do cálculo dessa determinante com as derivadas avaliadas em um ponto crítico , temos que

é um ponto de mínimo local;

é um ponto de máximo local;

Se , então é um ponto de sela.

Realizaremos esse teste para avaliar quais os pontos críticos da função.

Primeiro calcularemos suas derivadas parciais para obter os pontos críticos.

Em seguida calcular as derivadas segundas para calcular o determinante e descobrir quais os pontos de máximo, mínimo e de sela.