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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 14

14. Seja z = f ( x , y ) uma função de classe C 1 . O gráfico de f ( x , y ) pode ser considerado como a superfície de nível de nível F x , y , z = f x , y - z = 0 . Mostre que as equações do plano tangente num ponto P obtidas nas definições 3.7 e 3.11 coincidem.

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular o plano tangente a partir da definição 3.11. Está definição diz que o plano tangente à superficie no ponto P 0 é dado por:

∇ F P 0   .   x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , - 1   .   x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

∂ f ∂ x x - x 0 + ∂ f ∂ y y - y 0 - z + z 0 = 0

Ja á definição dada por diz que o plano tangente ao gráfico da função f ( x , y ) pode ser escrita como:

z = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Como z 0 = f ( x 0 , y 0 ) , basta organizarmos para ter que as equações são iguais.

Resposta

Demonstração acima.

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Enunciado
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