12-Mostre que em todos os pontos da interseção da semiesfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 16 ,   z ≥ 0 , com o cone de equação z = x 2 + y 2 , os vetores normais a estas superfícies são ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos reescrever a equação do cone:

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Lembrem-se que o vetor normal a uma superfície é o vetor gradiente, então, vamos encontrá-lo derivando parcialmente em relação a x , y ,   z :

∇ f x , y , z = ( 2 x ,   2 y ,   - 2 z )

Fazendo o mesmo a para a semiesfera, temos:

∇ f x , y , z = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

Em um ponto de interseção ( x 0 , y 0 , z 0 ) , o produto interno dos vetores normais será:

2 x 0 ,   2 y 0 ,   - 2 z 0 × 2 x 0 ,   2 y 0 ,   2 z 0 = 4   x 2 0 +   y 0 2 - z 0 2 = 0

Pois o ponto pertence ao cone, logo

x 0 2 + y 0 2 - z 0 2 = 0

Assim, os vetores normais são ortogonais.

Resposta

Demonstração acima.

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