Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 16a
Considere a curva de intersseção das superfícies definidas de equações e . Determine:
Um vetor tangente a em .
Passo 1
Bom galera, pra começar a gente precisa saber que por definição o vetor direção tangente da interseção de duas superfícies é dada por:
Ou seja, é o produto vetorial do vetor gradiente das duas equações no ponto que a gente quer, infelizmente a gente tem que decorar essa propriedade, mas usa ela aqui comigo que eu prometo que logo não vai mais sair da sua cabeça. 😊
Passo 2
Belezinha, vamos logo calcular os vetores gradientes das duas equações, pra isso basta a gente calcular as derivadas parciais e para o ponto que a questão pediu, é bem assim na primeira equação:
Primeiro a gente deriva parcialmente
Agora calculamos isso no ponto da questão:
E fazemos igual para a segunda equação:
No ponto fica:
Passo 3
Show de bolinhas, agora a gente precisa calcular o produto vetorial disso, lembra que a gente pode fazer isso calculando o determinante de uma matriz assim:
Então o nosso produto vetorial vai ficar:
Calculando o determinante:
Passo 4
Pronto agora podemos escreve o nosso vetor assim:
A gente até poderia deixar assim, mas como é um vetor direção é melhor que ele fique o mais simplificado possivel, pra isso a gente pode ver de cara um valor pra dividir tudo ou pega o MDC (máximo divisor comum), no caso a gente pode dividir tudo por , aí fica assim:
E prontinho. 😊