Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 29
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Galera, tudo beleza?
O enunciado jogou pra gente essa integral aqui
Precisamos resolvê-la como uma série de potências e com resultado preciso de seis casas decimais. Show, né?
Primeiro, vamos nos preocupar em escrever a integral como série de potências, ok?
A nossa função precisa ter uma carinha de série geométrica, assim:
Onde é nosso primeiro termo do somatório e a razão.
Passo 2
Então vamos manipular:
Vamos representar como aquela série geométrica:
Ou melhor,
Show?
Passo 3
Vamos agora jogar essa série dentro da nossa integral:
Como já descobrimos...
Resolvendo a integral, onde para os expoentes somamos e repetimos o termo no denominador:
Substituindo por , vamos chegar a essa representação:
Passo 4
Show! Agora vamos aplicar os limites de integração, e :
Como já descobrimos o somatório, só colocar os limites de integração:
Os termos do segundo parênteses serão todos com resultado nulo, por isso vamos ter
Como a série é alternada, se aproximarmos a soma da série pela soma parcial dos dois primeiros termos, o erro é no máximo o terceiro termo:
Então, pra obter a precisão de seis casas decimais, podemos mesmo aproximar assim: