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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 48

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis e somos solicitados a encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que a derivada parcial de segunda ordem é calculada tomando uma derivada parcial da derivada parcial de primeira ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Nesta tarefa também contaremos com o teorema da derivada mista que afirma que se as derivadas de primeira e segunda ordem da função são contínuas, então as derivadas de ordem mista da função são as mesmas, ou seja:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Observe que nesta tarefa isso será verdadeiro devido à função que recebemos com essa propriedade. Isso nos poupará um cálculo, portanto, no total, precisamos calcular as derivadas 5 vezes.

Passo 2

w = y e x 2 - y ⇒ w x = y e x 2 - y ⋅ 2 x = 2 x y e x 2 - y w y = 1 e x 2 - y + y e x 2 - y ⋅ - 1 = e x 2 - y ( 1 - y )

Passo 3

w x = 2 x y e x 2 - y ⇒ w x x = 2 y e x 2 - y + 2 x y e x 2 - y ⋅ 2 x = 2 y e x 2 - y 1 + 2 x 2 w x y = 2 x e x 2 - y + 2 x y e x 2 - y ⋅ - 1 = 2 x e x 2 - y ( 1 - y ) w y = e x 2 - y ( 1 - y ) ⇒ w y x = e x 2 - y ⋅ 2 x ( 1 - y ) = 2 x e x 2 - y ( 1 - y ) w y y = e x 2 - y ⋅ - 1 ( 1 - y ) + e x 2 - y ( - 1 ) = - e x 2 - y ( 2 - y )

Resposta

w x x = 2 y e x 2 - y 1 + 2 x 2 , w x y = 2 x e x 2 - y ( 1 - y ) , w y x = 2 x e x 2 - y ( 1 - y ) w y y = - e x 2 - y ( 2 - y )

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Mostre que a função z = x e y + y e x é uma solução da equação: ∂ 3 z ∂ x 3 + ∂ 3 z ∂ y 3 = x ∂ 3 z ∂ x∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2∂ y
Determine as derivadas parciais de segunda ordem. f x , y = x 4 - 3 x 2 y 3
Determine as derivadas parciais de segunda ordem z = yt g ( 2 x )
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. w = 1 + u v 2
Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s). f x , y = x 4 y 2 - x 3 y ; f x x x , f x y x