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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 45

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ r ∂ x = ∂ ∂ x l n ⁡ ( x + y ) = 1 x + y ∂ r ∂ y = ∂ ∂ y l n ⁡ ( x + y ) = 1 x + y

∂ 2 r ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ r ∂ x = ∂ ∂ x ( x + y ) - 1 = - ( x + y ) - 2 = - 1 ( x + y ) 2

Passo 3

∂ 2 r ∂ x ∂ y = ∂ 2 r ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ r ∂ x = ∂ ∂ y ( x + y ) - 1 = - ( x + y ) - 2 = - 1 ( x + y ) 2

∂ 2 r ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ r ∂ y = ∂ ∂ y ( x + y ) - 1 = - ( x + y ) - 2 = - 1 ( x + y ) 2

Resposta

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