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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 73

Mostre que a função z = x e y + y e x é uma solução da equação:

∂ 3 z ∂ x 3 + ∂ 3 z ∂ y 3 = x ∂ 3 z ∂ x   ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2   ∂ y

Passo 1

Fala galerinha! Tranquilo? A questão de hoje pede uma demonstração.

O que quero dizer com isso? Temos que fazer exatamente o que a questão pede para ver se e verdade!

Ela nos dá a função:

z = x e y + y e x

E temos que calcular as derivadas parciais de terceira ordem de z em relação a x e y , e então substituir esses resultados na equação diferencial dada:

∂ 3 z ∂ x 3 + ∂ 3 z ∂ y 3 = x ∂ 3 z ∂ x   ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2   ∂ y

Se ambos os lados da equação forem iguais após a substituição, a função z = x e y + y e x é uma solução da equação diferencial parcial.

Podemos começar! 😊

Passo 2

Para fazer essa questão nós devemos estar cientes que:

∂ 3 z ∂ x 3 = z x x x

Como se fosse a mesma coisa, assim como:

∂ 3 z ∂ y 3 = z y y y

∂ 3 z ∂ x   ∂ y 2 = z y y x

∂ 3 z ∂ x 2   ∂ y = z x x y

Então vamos fazer essas derivadas todas e verificar se a igualdade é válida.

Passo 3

Começando por z x x x temos:

  1. Para z x

    2. d z d x = d d x x e y + y e x

    Derivando individualmente

    d z d x = d d x ( x e y ) + d d x ( y e x )

    Para o primeiro termo:

    e y ∙ d d x x = e y

    Para o segundo termo:

    d d x y e x = y e x

    Sendo assim

    d z d x = e y +   y e x

    Passo 4

  2. Para z x x

    3. d d x ( e y +   y e x )

    Derivando individualmente

    d d x = d d x e y + d d x ( y e x )

    Para o primeiro termo, não dependência em x , sendo assim dará zero.

    d d x e y = 0

    Para o segundo termo

    d d x y e x = y d d x e x

    d ² z d x ² = y ∙ e x

    Passo 5

  3. Para z x x x

d ² z d x ² = y ∙ e x

Neste caso colocaremos o y como uma constante e vamos derivar apenas e x .

d z d x ³ = y ∙ e x

Finalizamos as derivadas de x . Uhullll

Partiu derivada em y !

Passo 4

Agora avançando para z y y y :

  1. Para z y :  

    2. d f d y = d d y x e y + y e x  

    Derivamos individualmente

    d f d y = d d y x e y + d d y y e x

    Para o primeiro termo:

    d d y x ∙ e y = e y

    Para o segundo termo:

    d d y y ∙ e x = 1

    Sendo assim

    d f d y = x e y + e x

    Passo 7

  2. Para z y y

    3. d f d y = d d y x e y + e x  

    Derivando individualmente

    d f d y = d d y x e y + d d y e x  

    Para o primeiro termo:

    d d y x e y = x e y

    Para o segundo termo:

    d d y e x   = 0

    Sendo assim:

    d ² f d y ² = x e y

    Passo 8

  3. Para z y y y

d 2 f d y 2 = d d y x e y = x e y

d 3 f d y 3 = x e y

Passo 5

Agora que temos as duas derivadas de terceira ordem, podemos calcular

Para calcular z y y x , pegaremos a derivada de segunda ordem de y e derivamos em relação a x .

d ² f d y ² = x e y

Derivando em relação a y

d d x x e y = e y

d ³ f d y ² d x = e y

Passo 6

Agora só falta encontrar z x x y vamos pegar a derivada de segunda ordem de x e derivamos em relação a y .

d ² z d x ² = y ∙ e x

Derivando em relação a y

d d y y ∙ e x = e x

d ³ f d x ² d y = e x

Passo 7

Agora chegamos na nossa gloriosa última etapa!

∂ 3 z ∂ x 3 + ∂ 3 z ∂ y 3 = x ∂ 3 z ∂ x   ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2   ∂ y

Vamos começar substituindo as derivadas que já encontramos.

y e x + x e y = x e y + y e x

y e x + x e y = x e y + y e x

Olha só, temos a igualdade dos lados! Uhullll Acabamos!

Tchau e até a próxima!

Resposta

Demonstração

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