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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 37

a) Determine o centroide de um cone circular reto com altura h e base com raio a. (Coloque o cone de forma que a base esteja sobre o plano x y com o centro na origem e seu eixo esteja sobre o eixo z.)

(b) Encontre o momento de inércia do cone em relação a seu eixo (o eixo z )

Passo 1

Vamos lá pessoal, tudo certo? A questão nos pede para determinar o centroide de um cone reto e depois que encontremos seu momento de inércia em relação ao eixo z .

Precisamos então recordar como é a equação do cone e seus limites de integração, lembrar como é a equação da integral do centroide e do momento de inércia. Então é só resolver as integrais, vamos lá?

Antes de mais nada, vamos tentar lembrar como descrever a função que descreve o cone em nosso espaço euclidiano.

Um cone é dado por

z 2 = x 2 + y 2

O centro de massa é:

z c = ∭ z d m ∭ d m

O momento de inércia é dado por

I = ∫ r 2   d m

Passo 2

  1. Como o cone tem altura h e base a , vamos analisar da seguinte forma:

    2. Quando estamos mais próximo da origem, z → h e quando nos afastamos, z → 0 , desta forma podemos supor fazer

    α r + β = z

    Onde queremos determinar quem são nossos α e β .

    r → 0   e n t ã o   z → h

    Logo teremos que β = h

    r → a   e n t ã o   z → 0

    Logo α = - h / a

    Ficando com

    - h a r + h = z

    Reescrevendo nossa equação ficamos com

    h - z = a h x 2 + y 2

    com 0 ≤ z ≤ h

    Passo 3

    Como estamos tentando determinar o centroide, temos que pôr simetria, x c = y c = 0 , ficando apenas apara determinarmos z c .

    Por definição

    z c = ∭ z d m ∭ d m

    Usando coordenadas cilíndricas

    x = r cos ⁡ θ

    y = r   s i n ⁡ ( θ )

    z = - h a r + h

    Temos que nossa integral de cima se transforma da seguinte forma:

    ∭ z d m = k ∭ J ⋅ z   r   d z   d r   d θ

    Onde k é a densidade do cone e J é o jacobiano, que em coordenadas cilíndricas é dado da mesma forma que em coordenadas polares, ou seja, J = r . Além disso temos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ z ≤   - h a r + h

    Assim ficamos com

    k ∭ z   d z   d r   d θ = k 2   ∬ z 2 r   d r   d θ = k 2   ∬ - h a r + h 2 r   d r   d θ = π k ∬ - h a r + h 2 r   d r  

    Abrindo os termos nos parênteses e fazendo a distributiva, temos

    π k h 2   ∬ r 3 a 2 + r - 2 r 2 a d r = π k h 2 a 2 1 4 + 1 2 - 2 3 = π k h 2 a 2 12  

    como k = M / V e V = 1 3 a 2 h π então temos que

    z c = ∭ z   d m ∭ d m   = h 4

    Passo 4

  2. O momento de inércia é dado por

I = ∫ r 2   d m

Seguindo a mesma transformação em coordenadas cilíndricas, ficamos com

I = k ∫ r 2   r   d z   d r   d θ = k ∭ r 3 d z   d r   d θ

Os intervalos são os mesmos sugeridos no item (b)

Sendo assim temos

I = 2 π k ∬ r 3 d z   d r = 2 π k ∫ - h a r + h r 3 d r = 2 π k - h a a 5 5 + h a 4 4 = π k h a 4 10

Lembrando que

k = M V = 3 M π h a 2

Logo

I = 3 M a 2 10

Resposta

  1. 0,0 , h 4
  2. I = 3 M a 2 10
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