Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 17
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Aqui a gente vai encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Com as restrições:
Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:
Onde e . Veja que teremos que calcular as derivadas parciais das funções, pois os gradientes são dados por:
As derivadas parciais são calculadas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.
Após realizarmos os cálculos do gradiente, teremos então um sistema, desse sistema iremos encontrar os valores de em função de e , com isso iremos substituir nas equações das restrições e finalmente iremos encontrar os valores numéricos das variáveis.
Com esses pontos iremos substituir na função, o ponto que nos der o maior valor é o ponto de máxima, e o ponto que nos der o menor valor é o ponto de mínimo.
Passo 2
Os gradientes serão calculados da forma que comentamos no passo :
Assim poderemos utilizar agora a equação dos multiplicadores de Lagrange que fizemos:
Podemos escrever essa equação como um sistema, que deve satisfazer a igualdade das coordenadas, já que temos ai vetores:
Passo 3
Da primeira equação, tiramos
Todavia, como a equação deve ser satisfeita (uma das restrições), . Assim, temos que . Assim, as demais equações do sistema são reescitas como:
Substituindo dado pela primeira equação na seguna:
Como , segue que
Assim,
Desta forma, na equação do cilindro:
Desta forma, os candidatos a extremos serão quatro:
Passo 4
Sabendo que , calculamos:
Assim, o máximo é e o mínimo é .