O seguinte mapa de contorno é dado para uma função f . Use-o para aproximar f_x(2,1) e f_y(2,1) .

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá! A questão nos dá um mapa de contorno de uma função f ( x , y ) e pede para encontrarmos f x e f y no ponto ( 2,1 ) , mas como fazer isso?

Primeiro precisamos interpretar esse gráfico! Podemos visualizar esse mapa de contorno como a visão superior de um gráfico 3D, as curvas de nível (as linhas rosa) mostram o contorno da função (ou o eixo z , para simplificar) em uma altura qualquer (os números azuis).

Além disso, sabemos que f x e f y são derivadas parciais de f ( x , y ) ! Se tivéssemos a função nós calcularíamos essas derivadas de forma simples: Para f x , por exemplo, nós trataríamos y como um valor constante e derivaríamos em x !

Mas vocês lembram que a derivada é a inclinação da reta tangente? Nós podemos calcular as derivadas parciais da mesma forma aqui!

Para f x nós fixamos y = 1 (o valor da questão) e calculamos a inclinação usando os valores das curvas de nível e os respectivos valores de x !

Passo 2

Para estimar o valor de f x em 2,1 nós fixamos o valor de y = 1

E observe que para x = 2 o valor das curvas de nível está aumentando: A primeira curva tem valor f x , y = 10 em x = 2 e a próxima f x , y = 12 em x ≃ 2,7 !

Daí só precisamos calcular a inclinação (ou a taxa de variação, como preferir)!

f x 2,1 =   12 - 10 2,7 - 2 = 2,8

Passo 3

Da mesma forma, para estimar o valor de f y 2,1 fixamos x = 2

E observamos que conforme y aumenta, o valor da função diminui: A primeira curva tem valor f x , y = 10 em y = 2 e a próxima f x , y = 8 em y ≃ 2,9 !

f y 2,1 =   8 - 10 2,9 - 2 = - 2,2

Resposta

f x 2,1 = 2,8

f y 2,1 = - 2,2

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