Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 9
Determine a área da superfície.
A parte da superfície que está dentro do cilindro .
Passo 1
Vamos lá galerinha! A questão nos pede para calcular uma área de uma superfície que está dentro de um cilindro. Então precisamos nos recordar como fazer o cálculo de área de uma superfície qualquer e também de como escrever seus limites de integração.
Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.
Passo 2
Temos que:
Utilizaremos isso para calcular as derivadas parciais. Veja:
Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função . Sendo assim
Considerando como constante temos:
Realizando o mesmo procedimento para , utilizaremos como constante.
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Passo 3
Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Da definição de coordenadas polares.
Ou seja:
Sabemos que isso é a equação de um círculo completo de raio .Portanto, temos os seguintes limites:
Agora, basta resolvermos a seguinte integral:
Fazendo por substituição temos:
E
, teremos na integral de “dentro”
Substituindo:
Retornando para a integral “de fora”: