Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 20
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.
Abaixo do paraboloide e acima do plano .
Passo 1
Fala, pessoal!
A questão pede pra gente utilizar coordenadas polares para encontrar do sólido que está abaixo do paraboloide
E acima do plano .
Vamos relembrar algumas fórmulas para polares, show?
Passo 2
Para achar a região de integração, vamos achar a interseção do paraboloide com o plano.
Se estamos no plano , então . Logo,
Dividindo todos os termos pares, então
Mas lembra que
Assim, o domínio de integração em coordenadas polares será
Além disso,
Desta forma, o volume será dado por essa integral:
Ou podemos colocar o para fora da integral como uma constante:
Passo 3
Fazendo a integral primeiro em relação a :
Agora em relação a :
Belezaaa 😊
Resposta
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Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado [ 0,1 ] ×
A integral iterada representa o volume de um sólido. Descrever o sólido. ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 1 .y = x 2 ,y = 4 ,z = 0 e z = 4
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 3 .z = 1 - x 2 ,z = 0 ,x + y = 4 e y = 0
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 6 .z = x 2 + 1 ,z = 0 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 4 e y = 5