Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 2
Determine a área da superfície.
A parte do plano que está dentro do cilindro .
Passo 1
Faaaaala galerinha, tudo bem?
Precisamos determinar a área da superfície que compreende parte do plano:
e está dentro do cilindro:
Como fazemos essa?
Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Onde, .
Observe que temos derivadas parciais de uma função . Olhando para as equações fornecidas, podemos escrever uma delas em função de que dependa de e .
A outra expressão:
vamos utilizar para escrever em coordenadas polares, visto que tem a forma de um círculo. Logo, vamos utilizar as relações:
Depois disso e só aplicar na integral e começar a resolver. Lembre-se, que sempre começamos a integrar de dentro para fora.
Bora lá resolver!
Passo 2
Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função .
No enunciado ele forneceu:
Isolando o , vamos ter a equação . Que é igual a:
Repare na integral abaixo, precisamos das derivadas parciais:
Onde, .
Sendo assim, temos que:
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Passo 3
Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares.
Em cordenadas polares, temos:
Substituindo:
Sabemos que:
Logo, concluímos que:
Portanto, temos os seguintes limites:
Logo, temos a seguinte integral:
Passo 4
Agora precisamos resolver a integral.
Lembra, que começamos a integrar de dentro para fora.
Integrando em , temos:
Aplicando os limites de integração temos:
Agora ficamos com uma integral simples em . Integrando, vamos ter:
Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando, obtemos como resposta: