Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 8

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x + z = 2 e x = 2 para z ≥ 0 .

Passo 1

Bom galera, a gente tem que encontrar o volume, pra isso a gente tem a formulinha:

V = ∫ ∫ D A   d y d x

Passo 2

Belezinha, vamos então encontrar a região D , pra isso a gente tem as informações que:

z = 1 - y 2

x + z = 2 → z = 2 - x

x = 2

z ≥ 0

Com esse z ≥ 0 a gente consegue encontrar alguns limites, por exemplo:

0 ≥ 1 - y 2

Logo temos:

- 1 ≤ y ≤ + 1

E também agora a outra equação:

z = 2 - x

→ 0 ≥ 2 - x

Igualamos também os z :

1 - y 2 = 2 - x

→ x = 1 + y 2

Assim temos:

1 + y 2 ≤ x ≤ 2

Passo 3

Show de bolinhas, nossa região é D é delimitada por:

1 + y 2 ≤ x ≤ 2

- 1 ≤ y ≤ + 1

E agora a gente descobre a função:

z = 1 - y 2

z = 2 - x

Chamamos a função de:

f x , y = 1 - y 2 - z

Substituimos o z :

f x , y = 1 - y 2 - 2 - x

→ f x , y = 1 - y 2 - 2 + x

→ f x , y = - 1 - y 2 + x

Passo 4

Por fim, a gente só precisa botar o que encontramos na fórmula e integrar duas vezes:

V = ∫ - 1 1 ∫ 1 + y 2 2 - 1 - y 2 + x   d x d y

Integramos a primeira vez:

V = ∫ - 1 1 - x - y 2 x + x 2 2 1 + y 2 2 d y

Calculando essa parte de dentro temos:

V = ∫ - 1 1 - 2 - y 2 2 + 2 2 2 - - 1 + y 2 - y 2 1 + y 2 + 1 + y 2 2 2 1 - y 2 2 d y

= ∫ - 1 1 - 2 - 2 y 2 + 2 - - 1 - y 2 - y 2 - y 4 + 1 + 2 y 2 + y 4 2 d y

= ∫ - 1 1 - 2 y 2 - - 1 - 2 y 2 - y 4 + 1 + 2 y 2 + y 4 2 d y

= ∫ - 1 1 - 2 y 2 + 1 + 2 y 2 + y 4 - 1 2 - y 2 - y 4 2 d y

= ∫ - 1 1 1 2 + y 4 2 - y 2 d y

Integramos denovo:

V = ∫ - 1 1 1 2 + y 4 2 - y 2   d y

= 1 2 y + y 5 10 - y 3 3 - 1 1

= 1 2 1 + 1 5 10 - 1 3 3 - 1 2 - 1 + - 1 5 10 - - 1 3 3

= 1 2 + 1 10 - 1 3 + 1 2 + 1 10 - 1 3

= 1 + 2 10 - 2 3 = 15 + 3 - 10 15 = 8 15

E prontinho. 😊

Resposta

8 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 2∫ x 2 4 f ( x , y ) d y d x
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido no primeiro octante sob o plano z = x + y , acima da superfície z = x y e delimitada pela superfície x = 0 , y = 0 e x 2 + y 2 = 4 .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 0 y f ( x , y ) d x d y
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Limitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .