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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 8

Nos Exercícios 7 e 8, (a) expresse ∂ z / ∂ u   e   ∂ z / ∂ y como funções de u   e   v utilizando a regra da cadeia e também expressando z diretamente em termos de u   e   y antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ z / ∂ u   e   ∂ z / ∂ y no ponto dado ( u ,   y ) .

z = t g - 1 x / y ,               x = u cos ⁡ v ,   y = u   s e n   v             u , v = ( 1,3 ; π / 6 )

Passo 1

Falai galerinha, tudo certo:

Como diria a Viúva Negra, “Ainda somos amigos, certo?”

Boraaa fazer essa comigo

Vamos determinar ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v usando a regra da cadeia

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Passo 2

Determinaremos ∂ z ∂ x   e   ∂ x ∂ u

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x tan - 1 ⁡ x y

= 1 1 + x y 2 ∂ ∂ x   x y

= 1 1 + x y 2 ⋅ 1 y

= y x 2 + y 2

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u ( u cos ⁡ v )

= cos ⁡ v   ∂ u ∂ u

= cos ⁡ v

Passo 3

Determinaremos ∂ z ∂ y   e   ∂ y ∂ u

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y tan - 1 ⁡ x y

= 1 1 + x y 2 ∂ ∂ y   x y

= 1 1 + x y 2 ⋅ - x y 2

= - x x 2 + y 2

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u ( u sin ⁡ v )

= sin ⁡ v   ∂ u ∂ u

= sin ⁡ v

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais determinadas em ∂ z / ∂ u

∂ z ∂ u = y x 2 + y 2 ⋅ cos ⁡ v - x x 2 + y 2 ⋅ sin ⁡ v

= u sin ⁡ v u cos ⁡ v 2 + u sin ⁡ v 2 ⋅ cos ⁡ v - u sin ⁡ v u cos ⁡ v 2 + u sin ⁡ v 2 ⋅ sin ⁡ v

= u cos ⁡ v sin ⁡ v u 2 ( cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v ) - u cos ⁡ v sin ⁡ v u 2 ( cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v )

∂ z ∂ u = 0

Portanto, o valor de ∂ z / ∂ u é 0 .

Passo 5

Vamos determinar ∂ x / ∂ u e ∂ y / ∂ v

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v ( u cos ⁡ v )

= u   ∂ u ∂ u ( cos ⁡ v )

= - u sin ⁡ v

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v ( u sin ⁡ v )

= u   ∂ u ∂ u ( sin ⁡ v )

= u cos ⁡ v

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais determinadas em ∂ z / ∂ v

∂ z ∂ v = u sin ⁡ v u cos ⁡ v 2 + u sin ⁡ v 2 ⋅ ( -  u sin  ⁡ v ) - u sin ⁡ v u cos ⁡ v 2 + u sin ⁡ v 2 ⋅ ( u cos ⁡ v )

= - u 2 sin 2 ⁡ v u 2 cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v - u 2 cos 2 ⁡ v u 2 ( cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v )

= - u 2 ( cos 2 ⁡ v + sin 2 ⁡ v ) u 2 ( sin 2 ⁡ v + cos 2 ⁡ v )

∂ z ∂ v = - 1

Portanto, o valor de ∂ z / ∂ v é - 1 .

Passo 7

Vamos expressar agora z em termos u e v

z = tan - 1 ⁡ u cos ⁡ v u sin ⁡ v

= tan - 1 ⁡ cot ⁡ v

Vamos determinar ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v

∂ z ∂ u = ∂ ∂ u ( tan - 1 ⁡ ( cot ⁡ v ) )

= 0

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v ( tan - 1 ⁡ ( cot ⁡ v ) )

= 1 1 + cot 2 ⁡ v   ∂ ∂ v ( cot ⁡ v )

= 1 1 + cot 2 ⁡ v - csc 2 ⁡ v

= - 1 + cot 2 ⁡ v 1 + cot 2 ⁡ v

= - 1

Portanto, os valores para ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v   são respectivamente 0   e - 1 .

Passo 8

(b) O objetivo é determinar os valores de   ∂ z / ∂ u   e   ∂ z / ∂ v de u , v = ( 1.3 ,   π / 6 )

∂ z ∂ u u , v = 1.3 , π 6 = 0

∂ z ∂ v u , v = 1.3 , π 6 = - 1

Portanto, os valores para ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v   a u , v = 1.3 , π 6   são respectivamente 0   e - 1 .

“Nós somos Groot”

Resposta

  1. Portanto, o valor de ∂ z / ∂ u é 0 .

    2. Portanto, o valor de ∂ z / ∂ v é - 1 .

    Portanto, os valores para ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v   são respectivamente 0   e - 1 .

  2. Portanto, os valores para ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v   a u , v = 1.3 , π 6   são respectivamente 0   e - 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = e^x (c o s x + c o s y) , x = t^3 , y = t^2
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = x c o s y , x = s e n t , y = t
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .