Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 9

Nos Exercícios 9 e 10, (a) expresse ∂ w / ∂ u   e   ∂ w / ∂ y como funções de u   e   y utilizando a regra da cadeia e também expressando w diretamente em termos de u   e   y antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ w / ∂ u   e   ∂ w / ∂ y no ponto dado ( u ,   y ) .

w = x y + y z + x z ,       x = u + v ,     y = u - v ,     z = u v ;     u , v = ( 1 / 2 ,   1 )

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

  1. Vamos considerar expressão dada no enunciado

    2. w = x y + y z + x z ,       x = u + v ,    

    y = u - v ,     z = u v ;    

    u , v = ( 1 / 2 ,   1 )

    Existem três variáveis intermediarias, uma variável dependente e duas variáveis independentes

    ∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

    Agora iremos encontrar as derivadas parciais de w em relação a x ,   y   e   z em relação a u   e   v

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x y + y z + x z

    = y + z

    ∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u + v

    = 1

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ y x y + y z + x z

    = x + z

    ∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u - v

    = 1

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x y + y z + x z

    = y + x

    ∂ z ∂ u = ∂ ∂ u u v

    = v

    Passo 2

    Vamos reescrever w = x y + y z + x z em termos de u   e   v

    w = u + v u - v + u - v u v + u + v u v

    = u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    Diferenciando parcialmente ambos os lados em relação a u

    ∂ w ∂ u = ∂ ∂ u u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    = 2 u + v 2 u - v 2 1 + v 2 u + v 2 1

    = 2 u + 2 u v - v 2 + 2 u v + v 2

    = 2 u + 4 u v

    Portanto, ∂ w / ∂ u é de 2 u + 4 u v .

    Passo 3

    ∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ v

    Agora iremos encontrar as derivadas parciais de w em relação a x ,   y   e   z em relação a u   e   v

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x y + y z + x z

    = y + z

    ∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u + v

    = 1

    ∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x y + y z + x z

    = x + z

    ∂ y ∂ v = ∂ ∂ v u - v

    = - 1

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x y + y z + x z

    = y + x

    ∂ z ∂ v = ∂ ∂ v u v

    = u

    Passo 4

    Diferenciando parcialmente ambos os lados em relação a v

    ∂ w ∂ v = ∂ ∂ v u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    = - 2 v + u 2 1 - u 2 v + u 2 1 + u ( 2 v )

    = - 2 v + 2 u 2

    Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 2 v + 2 u 2 .

    Passo 5

  2. Vamos substituir u , v = 1 2 , 1 em ∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

  ∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

= 2 1 2 + 4 1 2 1

= 1 + 2

= 3

Portanto, ∂ w / ∂ u é de 3 .

Vamos substituir u , v = 1 2 , 1 em ∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

= - 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 2 2

= - 2 + 2 ⋅ 1 4

= - 8 + 2 4

= - 6 4   o u     - 3 2  

Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 3 / 2 .

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

  1. Portanto, ∂ w / ∂ u é de 2 u + 4 u v .

    2. Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 2 v + 2 u 2 .

  2. Portanto, ∂ w / ∂ u é de 3 .

Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 3 / 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u
Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .
Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.Considera a função f x , y = x y 2 x 2 + y 2, x , y ≠ ( 0,0 ) 0, x , y = 0,0 Mostre
Sejam f : R 3 → R diferenciável e P 0 = 0,0 , 0 tais que ∂ f ∂ x P 0 = 2 , ∂ f ∂ y P 0 = ∂ f ∂ z P 0 = 0 . Defina g u , v = f u - v , u 2 - 1,3 v - 3 e calcule ∂ g ∂ u 1,1 e ∂ g ∂ v 1,1 .
Considere a função diferenciavel f ( x , y ) , onde x = g u , v = v cos ⁡ ( π + u ) + e u v e y = h u , v = u 2 - v 2 . Sabendo que ∂ f ∂ x - 1 , - 4 = 3 e ∂ f ∂ y - 1 , - 4 = 2 , determine ∂ F ∂ u 0,