Nos Exercícios 9 e 10, (a) expresse ∂w/∂u e ∂w/∂y como funções de u e y utilizando a regra da cadeia e também expressando w diretamente em termos de u e y antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂w/∂u e ∂w/∂y no ponto dado (u, y) .

w = xy + yz + xz, x = u + v, y = u - v, z = uv; (u, v) = (1/2, 1)

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

  1. Vamos considerar expressão dada no enunciado
  2. w = x y + y z + x z ,       x = u + v ,    

    y = u - v ,     z = u v ;    

    u , v = ( 1 / 2 ,   1 )

    Existem três variáveis intermediarias, uma variável dependente e duas variáveis independentes

    ∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ u

    Agora iremos encontrar as derivadas parciais de w em relação a x ,   y   e   z em relação a u   e   v

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x y + y z + x z

    = y + z

    ∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u + v

    = 1

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ y x y + y z + x z

    = x + z

    ∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u - v

    = 1

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x y + y z + x z

    = y + x

    ∂ z ∂ u = ∂ ∂ u u v

    = v

    Passo 2

    Vamos reescrever w = x y + y z + x z em termos de u   e   v

    w = u + v u - v + u - v u v + u + v u v

    = u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    Diferenciando parcialmente ambos os lados em relação a u

    ∂ w ∂ u = ∂ ∂ u u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    = 2 u + v 2 u - v 2 1 + v 2 u + v 2 1

    = 2 u + 2 u v - v 2 + 2 u v + v 2

    = 2 u + 4 u v

    Portanto, ∂ w / ∂ u é de 2 u + 4 u v .

    Passo 3

    ∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ v

    Agora iremos encontrar as derivadas parciais de w em relação a x ,   y   e   z em relação a u   e   v

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x y + y z + x z

    = y + z

    ∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u + v

    = 1

    ∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x y + y z + x z

    = x + z

    ∂ y ∂ v = ∂ ∂ v u - v

    = - 1

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x y + y z + x z

    = y + x

    ∂ z ∂ v = ∂ ∂ v u v

    = u

    Passo 4

    Diferenciando parcialmente ambos os lados em relação a v

    ∂ w ∂ v = ∂ ∂ v u 2 - v 2 + u 2 v - u v 2 + u 2 v + u v 2

    = - 2 v + u 2 1 - u 2 v + u 2 1 + u ( 2 v )

    = - 2 v + 2 u 2

    Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 2 v + 2 u 2 .

    Passo 5

  3. Vamos substituir u , v = 1 2 , 1 em ∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

  ∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

= 2 1 2 + 4 1 2 1

= 1 + 2

= 3

Portanto, ∂ w / ∂ u é de 3 .

Vamos substituir u , v = 1 2 , 1 em ∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

= - 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 2 2

= - 2 + 2 ⋅ 1 4

= - 8 + 2 4

= - 6 4   o u     - 3 2  

Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 3 / 2 .

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

  1. Portanto, ∂ w / ∂ u é de 2 u + 4 u v .
  2. Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 2 v + 2 u 2 .

  3. Portanto, ∂ w / ∂ u é de 3 .

Portanto, ∂ w / ∂ v é de - 3 / 2 .

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