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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 7

Nos Exercícios 7 e 8, (a) expresse ∂ z / ∂ u   e   ∂ z / ∂ y como funções de u   e   v utilizando a regra da cadeia e também expressando z diretamente em termos de u   e   y antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ z / ∂ u   e   ∂ z / ∂ y no ponto dado ( u ,   y ) .

z = 4 e x ln ⁡ y ,     x = ln ⁡ ( u cos ⁡ v ) ,     y = u sin ⁡ v ,             u , v = ( 2 , π / 4 )

Passo 1

Falaii galerinha do Responde ai, tudo belezinha?

Considerando as seguintes funções e um ponto:

z = 4 e x ln ⁡ y ,     x = ln ⁡ ( u cos ⁡ v ) ,     y = u sin ⁡ v ,             u , v = ( 2 , π / 4 )

  1. O objetivo é expressar

    2. ∂ z ∂ u   e ∂ z ∂ v  

    Como funções de u e v. Vamos usar a regra da cadeia e expressar z também em termos de u e v.

    A regra da cadeira é

    ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

    Obtendo as derivadas parciais de z em relação a u como mostrarei a seguir

    Para x

    ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ( 4 e x ln ⁡ y )

    = 4 ∂ ∂ x ( e x ln ⁡ y )

    = 4 ln ⁡ y ∂ ∂ x e x

    = 4 ln ⁡ y e x

    Para y

    ∂ z ∂ y = ∂ y ∂ u ( 4 e x ln ⁡ y )

    = 4 e x ∂ ∂ x ( ln ⁡ y )

    = 4 e x ⋅ 1 y

    = 4 e x y

    Passo 2

    Vamos obter as derivadas parciais de x e y, em relação a u como mostrarei a seguir

    ∂ x ∂ u = ∂ ∂ u ln ⁡ u cos ⁡ v  

    = 1 u cos ⁡ v ⋅ cos ⁡ v

    = cos ⁡ v u cos ⁡ v

    = 1 u

    ∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u sin ⁡ v

    = sin ⁡ v ∂ ∂ u u

    = sin ⁡ v

    Passo 3

    Vamos inserir os valores na expressão a seguir:

    ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

    ∂ z ∂ u = 4 ln ⁡ y e x u + 4 e x y ( sin ⁡ v )

    Vamos inserir os valores de x e y

    ∂ z ∂ u = 4 e ln ⁡ u cos ⁡ v ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) u + 4 e ln ⁡ u cos ⁡ v sin ⁡ v u ⋅ sin ⁡ v

    = 4 u cos ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v u + 4 ( u cos ⁡ v ) u

    = 4 cos ⁡ v   ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) + 4 cos ⁡ v

    Portanto, a expressão ∂ z / ∂ u em termos de u e v é 4 cos ⁡ v   ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) + 4 cos ⁡ v

    Passo 4

    Agora iremos encontrar ∂ z / ∂ v pela regra da cadeia

    ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

    Encontraremos as derivadas parciais de x e y em relação a v

    Para x

    ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ ( u cos ⁡ v )

    = 1 u cos ⁡ v ⋅ ( - u sin ⁡ v )

    = - u   s i n   v u cos ⁡ v

    - tan ⁡ v

    Para y

    ∂ z ∂ y = ∂ ∂ u ( u sin ⁡ v )

    = u ∂ ∂ x ( sin ⁡ v )

    = u cos ⁡ v

    Passo 5

    Substituindo

    ∂ z ∂ v = 4 e x ln ⁡ y - tan ⁡ v + 4 e x y ⋅ u cos ⁡ v

    = - 4 e x ln ⁡ y tan ⁡ v + 4 e x y u cos ⁡ v

    ∂ z ∂ v = 4 e ln ⁡ ( u cos ⁡ v ) tan ⁡ v ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) + 4 e ln ⁡ ( u cos ⁡ v ) u cos ⁡ v u sin ⁡ v

    = - 4 u cos ⁡ v ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) tan ⁡ v + 4 u cos ⁡ v ⋅   u cos ⁡ v u sin ⁡ v

    = - 4 u sin ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 u cos 2 ⁡ v sin ⁡ v

    Portanto, a expressão ∂ z / ∂ v em termos de u e v é

    - 4 u sin ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 u cos 2 ⁡ v sin ⁡ v

    Passo 6

    Vamos escrever z em termos de u e v

    z = 4 e x ln ⁡ y

    = 4 e ln ⁡ u cos ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v

    = 4 u cos ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v

    ∂ z ∂ u = 4 cos ⁡ v   ln ⁡ ( u sin ⁡ v ) + 4 cos ⁡ v 1 u sin ⁡ v × sin ⁡ v

    ∂ z ∂ u = 4 cos ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 cos ⁡ v

    ∂ z ∂ v = - 4 u sin ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 u cos ⁡ v × 1 u sin ⁡ v × cos ⁡ v

    ∂ z ∂ v = - 4 u sin ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 u cos 2 ⁡ v sin ⁡ v

    Passo 7

  2. O objetivo é encontrar o valor de

∂ z ∂ u   e   ∂ z v

No ponto

u , v   = 2 , π 4

∂ z ∂ u = 4 cos ⁡ π 4 ln ⁡ 2 sin ⁡ π 4 + 4 cos ⁡ π 4

= 4 ⋅ 1 2 ln ⁡ 2 2 + 4 ⋅ 1 2

= 4 2 2 ln ⁡ 2 + 4 2 2

= 2 2 ln ⁡ 2 + 2 2

= 2 2 ln ⁡ 2 1 / 2 + 2 2

= 2 2 ⋅ 1 2 ln ⁡ 2 + 2 2

= 2 ln ⁡ 2 + 2  

Portanto, o valor de ∂ z / ∂ u no ponto é de 2 ln ⁡ 2 + 2

∂ z ∂ u = - 4 u sin ⁡ v ln ⁡ u sin ⁡ v + 4 u cos 2 ⁡ v sin ⁡ v

= - 4 ⋅ 2 sin ⁡ π 4 ln ⁡ 2 sin ⁡ π 4 + 4 2 cos 2 ⁡ π 4 sin ⁡ π 4

= - 4 2 ⋅ 1 2 ln ⁡ 2 ⋅ 1 2 + 4 2 1 2 2 1 2

= - 4 2 ln ⁡ 2 + 4 2 ⋅ 1 2 ⋅ 2

= - 4 2 ln ⁡ 2 1 / 2 + 2 2

= 2 2 ln ⁡ 2 + 4 2

= - 4 2 ln ⁡ 2 1 2 + 4 2  

= - 4 2 1 2 ln ⁡ 2 + 4 2

= - 2 2 ln ⁡ 2 + 4 2  

Portanto, o valor de ∂ z / ∂ v no ponto é de - 2 2 ln ⁡ 2 + 4 2

“O coelho está certo, e ele é claramente o mais inteligente entre vocês!”

Resposta

  1. Vide os passos
  2. Portanto, o valor de ∂ z / ∂ u no ponto é de 2 ln ⁡ 2 + 2

Portanto, o valor de ∂ z / ∂ v no ponto é de - 2 2 ln ⁡ 2 + 4 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v
Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2) , x = e^t , y = e^(- t) .