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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 34

Encontre del w // del v quando u = - 1 , v = 2 se w = x y + ln z , x = v^2 // u , y = u + v , z = cos u .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos del w // del v , precisamos relembrar a equação da Regra da Cadeia neste caso:

(del w)/(del v) = (del w)/(del x) (del x)/(del v) + (del w)/(del y) (del y)/(del v) + (del w)/(del z) (del z)/(del v)

Primeiramente, iremos fazer as derivadas del x // del v , del y // del v e del z // del v , para isso precisamos relembrar que:

y = ln u -> y^' = (u^')/(u)

E sabemos que {[[u = - 1],[v = 2]]) . Para x = v^2 // u , logo:

(del x)/(del v) = (2 v)/(u) = (2 * 2)/(- 1)

(del x)/(del v) = - 4

Para y = u + v :

(del y)/(del v) = 1

E para z = cos u :

(del z)/(del r) = 0

Passo 2

Para calcularmos as derivadas del w // del x , del w // del y e del w // del z , vamos substituir os valores de {[[u = - 1],[v = 2]]) em {[[x = v^2 // u],[y = u + v],[z = cos u]]) , temos:

{[[x = (2^2)/(- 1) = - 4],[y = - 1 + 2 = 1],[z = cos ( - 1 ) = cos 1]])

Agora vamos encontrar a derivada da função:

w = x y + ln z

A derivada para x :

(del w)/(del x) = y = 1

Para y :

(del w)/(del y) = x = - 4

E para z :

(del w)/(del z) = (1)/(z) = (1)/(cos 1) = sec 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

(del w)/(del v) = 1 * (- 4) + (- 4) * 1 + sec 1 * 0 = - 4 - 4

(del w)/(del v) = - 8

Resposta

(del w)/(del v) = - 8

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