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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 2c

f é diferenciável em (0,0)? Justifique.

b) f ( x , y ) = (x^4)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0

Passo 1

Primeiramente, calculamos as derivadas parciais de f em (0,0), para sabermos se é contínua nesse ponto.

(del f)/(del x) ( 0,0 ) = underset(x -> 0)(l i m) (f ( x , 0 ) - f ( 0,0 ))/(x - 0) = underset(x -> 0)(l i m) (x^4)/(x^2 + 0) * (1)/(x) = underset(x -> 0)(l i m) x = 0

(del f)/(del y) (0,0) = underset(y -> 0)(l i m) (f (0 , y) - f (0,0))/(y - 0) = underset(y -> 0)(l i m) (0)/(0 + y^2) * (1)/(y) = underset(y -> 0)(lim) 0 = 0

Como as duas derivadas existem e dão zero, podemos dizer que f ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 )

Resposta

Sim

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 d. f x , y = x 3 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0
9. Seja f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0 Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 ) Mostre, usando a definição que f é d
9. Seja f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0 Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 ) Mostre, usando a definição que f é d
Seja f x , y = 0 , 1 , x 2y2 x 2 c a s oc o n t r á r i o á Mostre que f x 0 ,0 ef y ( 0 ,0 ) existem, masf não é diferenciável em ( 0 ,0 ) .