9. Seja

f(x, y) = x^2 + y^2 + sen(1 / (x^2 + y^2)) → (x, y) ≠ (0, 0)

0 → (x, y) = (0,0)

  1. Determine ∂f / ∂x e ∂f / ∂y
  2. Mostre que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y não são contínuas em (0, 0)
  3. Mostre, usando a definição que f é diferenciavel em (0,0)
  4. Mostre que f é uma função diferenciavel em R²

Passo 1

Neste item c) descobrimos que nossas derivadas parciais são

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Para valores de x , y ≠ 0,0 , e quando tínhamos na origem, ficamos com o seguinte valor

∂ f 0,0 ∂ x = 0

∂ f 0,0 ∂ y = 0

Uma condição suficiente para uma equação ser diferenciavel é se suas derivadas parciais existem em todo domínio. E provamos ao longo dos exercícios anteriores que existem sim, com valores finitos. Logo

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

É diferenciavel em todo R².Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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