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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 8d

8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0

d.

f x , y = x 3 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

Passo 1

Uma condição suficiente para que uma equação seja diferenciavel é que as derivadas parciais gerem um valor real no ponto. Então basta provarmos que

∂ f x 0 , y 0 ∂ x =   ∃

e

∂ f x 0 , y 0 ∂ y =   ∃

Se algumas delas divergir para infinito então a função não é diferenciavel : )

Passo 2

Essa função que temos em mãos não é fácil de calcular, porque não podemos simplesmente usar as regras de derivação. Temos que derivar na Raça! Sim, você leu certo, vamos ter que derivar pela definição!!!!

E você achando que depois que aprendeu usar as regras de derivação nunca mais ia precisar derivar pela definição

Então bora la!

Passo 3

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x 0 , y 0 h

∂ f 0,0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h

=   lim h → 0 ⁡ ( h ) 3 ( h ) 2 - 0 h

=   lim h → 0 ⁡ h 3 h 3

= 1

Esse limite converge, vamos ver como fica a derivada parcial em y :

∂ f 0,0 ∂ y = lim h → 0 ⁡ f 0,0 + h - f 0,0 h

=   lim h → 0 ⁡ 0 h 2 - 0 h

=   lim h → 0 ⁡ 0 h 3

= 0

Como os dois limite são diferentes, essa função não é diferenciavel. Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Não é diferenciavel

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