9. Seja

f(x, y) = x^2 + y^2 + sen(1 / (x^2 + y^2)) → (x, y) ≠ (0, 0)

0 → (x, y) = (0,0)

  1. Determine ∂f / ∂x e ∂f / ∂y
  2. Mostre que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y não são contínuas em (0,0)
  3. Mostre, usando a definição que f é diferenciavel em (0,0)
  4. Mostre que f é uma função diferenciavel em R²

Passo 1

Neste item a) descobrimos que nossas derivadas parciais são

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Agora precisamos mostrar que f é diferenciavel em ( 0,0 ) embora as derivadas parciais se aplicarmos um limite elas não existem nesse ponto. Pra sair dessa enrascada vamos precisar usar a definição de derivada

Passo 2

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x 0 , y 0 h

∂ f 0,0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h

= lim h → 0 ⁡ h 2 sen ⁡ 1 ( h ) 2 - 0 h

= lim h → 0 ⁡ h 2 h sen ⁡ 1 h 2

= lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h 2

Como a função seno apenas oscila entre [ - 1,1 ] logo se temos um fator que tende a 0 a equação inteira tende a zero também

= lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h 2 → 0

Passo 3

Como a estruturas da nossa equação é igual se derivarmos tanto x como y, como podemos ver abaixo

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

Podemos afirmar que as derivadas são as mesmas para 0,0

∂ f 0 , 0 ∂ y = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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